Номер 9.36, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.36. Зависимость длины пройденного пути s (в километрах) туристом до базы от времени его движения t (в часах) задана формулой:

$s = \begin{cases} 12t, & \text{если } 0 < t < \frac{5}{6}, \\ 10t, & \text{если } \frac{5}{6} \le t < 3, \\ -3t + 13, & \text{если } 3 \le t \le 4. \end{cases}$

Найдите: $s(0); s(0,5); s(1); s(1,5); s(2); s(3).$

Постройте график функции s(t).

Опишите с помощью графика, как происходило движение туриста.

Найдите: s(0); s(0,5); s(1); s(1,5); s(2); s(3)

Для нахождения значений функции $s(t)$ в заданных точках, необходимо определить, в какой из трех интервалов попадает значение времени $t$ и использовать соответствующую формулу.

1. $t=0$. Это значение попадает в интервал $0 \le t < \frac{5}{6}$. Используем формулу $s(t) = 12t$.
$s(0) = 12 \cdot 0 = 0$.

2. $t=0,5$. Так как $0,5 = \frac{1}{2}$, а $\frac{1}{2} < \frac{5}{6}$ (поскольку $3 < 5$), это значение попадает в интервал $0 \le t < \frac{5}{6}$. Используем формулу $s(t) = 12t$.
$s(0,5) = 12 \cdot 0,5 = 6$.

3. $t=1$. Это значение попадает в интервал $\frac{5}{6} \le t < 3$, так как $\frac{5}{6} \approx 0,83 < 1$. Используем формулу $s(t) = 10t$.
$s(1) = 10 \cdot 1 = 10$.

4. $t=1,5$. Это значение попадает в интервал $\frac{5}{6} \le t < 3$. Используем формулу $s(t) = 10t$.
$s(1,5) = 10 \cdot 1,5 = 15$.

5. $t=2$. Это значение попадает в интервал $\frac{5}{6} \le t < 3$. Используем формулу $s(t) = 10t$.
$s(2) = 10 \cdot 2 = 20$.

6. $t=3$. Это значение попадает в интервал $3 \le t \le 4$. Используем формулу $s(t) = -3t + 13$.
$s(3) = -3 \cdot 3 + 13 = -9 + 13 = 4$.

Ответ: $s(0)=0$; $s(0,5)=6$; $s(1)=10$; $s(1,5)=15$; $s(2)=20$; $s(3)=4$.

Постройте график функции s(t)

График функции является кусочно-линейным и состоит из трех частей. Для построения найдем координаты конечных точек для каждого интервала.

1. Для интервала $0 \le t < \frac{5}{6}$ имеем $s(t) = 12t$.
При $t=0$, $s(0)=0$. Точка $(0, 0)$ — включена в график.
При $t \to \frac{5}{6}$, $s(t) \to 12 \cdot \frac{5}{6} = 10$. Точка $(\frac{5}{6}, 10)$ — не включена (выколота).

2. Для интервала $\frac{5}{6} \le t < 3$ имеем $s(t) = 10t$.
При $t=\frac{5}{6}$, $s(\frac{5}{6}) = 10 \cdot \frac{5}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \approx 8,33$. Точка $(\frac{5}{6}, \frac{25}{3})$ — включена.
При $t \to 3$, $s(t) \to 10 \cdot 3 = 30$. Точка $(3, 30)$ — не включена (выколота).

3. Для интервала $3 \le t \le 4$ имеем $s(t) = -3t + 13$.
При $t=3$, $s(3) = -3 \cdot 3 + 13 = 4$. Точка $(3, 4)$ — включена.
При $t=4$, $s(4) = -3 \cdot 4 + 13 = 1$. Точка $(4, 1)$ — включена.

На графике включенные точки обозначаются закрашенными кружками, а выколотые — пустыми.

Ответ: График функции представлен на рисунке выше.

Опишите с помощью графика, как происходило движение туриста

Проанализируем движение туриста, исходя из построенного графика и формул. Скорость туриста на каждом линейном участке постоянна и равна производной от функции расстояния $s(t)$ по времени $t$ (тангенсу угла наклона графика).

1. Участок 1 ($0 \le t < 5/6$ часа):
Функция $s(t) = 12t$. Скорость туриста постоянна и равна $s'(t)=12$ км/ч. Положительный наклон означает, что турист движется от базы. Он начинает путь от базы ($s(0)=0$) и за 50 минут ($t=5/6$ ч) удаляется на 10 км.

2. В момент времени $t = 5/6$ часа:
На графике наблюдается разрыв. Расстояние до базы мгновенно уменьшается с 10 км до $s(5/6) = 10 \cdot (5/6) = 25/3 \approx 8,33$ км. Такое движение физически нереалистично.

3. Участок 2 ($5/6 \le t < 3$ часа):
Функция $s(t) = 10t$. Турист продолжает двигаться от базы, но с новой постоянной скоростью $s'(t)=10$ км/ч. К моменту времени $t=3$ ч он должен был бы находиться на расстоянии $s=30$ км от базы.

4. В момент времени $t=3$ часа:
Происходит второй разрыв. Расстояние до базы мгновенно изменяется с 30 км до $s(3)=-3 \cdot 3 + 13 = 4$ км.

5. Участок 3 ($3 \le t \le 4$ часа):
Функция $s(t) = -3t + 13$. Скорость туриста постоянна и равна $s'(t)=-3$ км/ч. Знак "минус" означает, что турист движется в обратном направлении — к базе. Модуль скорости равен 3 км/ч. В конце пути, в момент времени $t=4$ ч, он находится на расстоянии $s(4)=1$ км от базы.

Ответ: Турист стартует от базы и движется от неё со скоростью 12 км/ч в течение 50 минут. Затем его положение мгновенно и необъяснимо меняется (он "перескакивает" ближе к базе). После этого он продолжает движение от базы со скоростью 10 км/ч до момента времени 3 часа, когда его положение снова мгновенно меняется, оказываясь значительно ближе к базе. Последний час турист движется к базе со скоростью 3 км/ч, завершая маршрут на расстоянии 1 км от неё.