Номер 9.39, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.39. Упростите выражение:

1) $\frac{3n + x}{nx} - \frac{1}{n - x} \cdot \left(\frac{n}{x} - \frac{x}{n}\right) - \frac{3}{n}$ и найдите его значение при $x = 4;$

$n = -0,4;$

2) $\frac{2a - x}{ax} - \frac{1}{a + x} \cdot \left(\frac{a}{x} - \frac{x}{a}\right) + \frac{1}{a} \cdot \frac{x - a}{2}$ и найдите его значение при

$a = 0,3; x = -2;$

3) $\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{x - a}\right) \cdot \left(x - \frac{x^2 + a^2}{x + a} - \frac{x}{a}\right) : \frac{1}{x} + a$ и найдите его значение при

$x = 2,3; a = -1,4.$

1) Сначала упростим данное выражение. Выполним действия по порядку.

Исходное выражение: $ \frac{3n+x}{nx} - \frac{1}{n-x} \cdot \left(\frac{n}{x} - \frac{x}{n}\right) - \frac{3}{n} $

1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $nx$:
$ \frac{n}{x} - \frac{x}{n} = \frac{n \cdot n - x \cdot x}{nx} = \frac{n^2 - x^2}{nx} $

2. Используем формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ для числителя:
$ \frac{n^2 - x^2}{nx} = \frac{(n-x)(n+x)}{nx} $

3. Выполним умножение:
$ \frac{1}{n-x} \cdot \frac{(n-x)(n+x)}{nx} = \frac{n+x}{nx} $ (сократили на $n-x$)

4. Подставим полученное выражение обратно в исходное:
$ \frac{3n+x}{nx} - \frac{n+x}{nx} - \frac{3}{n} $

5. Выполним вычитание первых двух дробей с одинаковым знаменателем:
$ \frac{(3n+x) - (n+x)}{nx} = \frac{3n+x-n-x}{nx} = \frac{2n}{nx} = \frac{2}{x} $

6. Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{2}{x} - \frac{3}{n} $

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = 4$ и $n = -0,4$.
$ \frac{2}{4} - \frac{3}{-0,4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{0,4} = 0,5 + \frac{3}{4/10} = 0,5 + 3 \cdot \frac{10}{4} = 0,5 + \frac{30}{4} = 0,5 + 7,5 = 8 $

Ответ: 8

2) Сначала упростим данное выражение. Выполним действия по порядку.

Исходное выражение: $ \frac{2a-x}{ax} - \frac{1}{a+x} \cdot \left(\frac{a}{x} - \frac{x}{a}\right) + \frac{1}{a} \cdot \frac{x-a}{2} $

1. Упростим выражение в скобках:
$ \frac{a}{x} - \frac{x}{a} = \frac{a^2 - x^2}{ax} = \frac{(a-x)(a+x)}{ax} $

2. Выполним умножение в среднем члене выражения:
$ \frac{1}{a+x} \cdot \frac{(a-x)(a+x)}{ax} = \frac{a-x}{ax} $

3. Выполним умножение в последнем члене выражения:
$ \frac{1}{a} \cdot \frac{x-a}{2} = \frac{x-a}{2a} $

4. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$ \frac{2a-x}{ax} - \frac{a-x}{ax} + \frac{x-a}{2a} $

5. Выполним вычитание первых двух дробей с общим знаменателем $ax$:
$ \frac{(2a-x) - (a-x)}{ax} = \frac{2a-x-a+x}{ax} = \frac{a}{ax} = \frac{1}{x} $

6. Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{1}{x} + \frac{x-a}{2a} $

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = 0,3$ и $x = -2$.
$ \frac{1}{-2} + \frac{-2 - 0,3}{2 \cdot 0,3} = -\frac{1}{2} + \frac{-2,3}{0,6} = -0,5 - \frac{23}{6} = -\frac{3}{6} - \frac{23}{6} = -\frac{26}{6} = -\frac{13}{3} $

Ответ: $ -\frac{13}{3} $

3) Сначала упростим данное выражение. Порядок действий: умножение, деление, сложение.

Исходное выражение: $ \left(\frac{1}{a} + \frac{2}{x-a}\right) \cdot \left(x - \frac{x^2+a^2}{x+a} - \frac{x}{a}\right) : \frac{1}{x} + a $

1. Упростим первую скобку:
$ \frac{1}{a} + \frac{2}{x-a} = \frac{x-a+2a}{a(x-a)} = \frac{x+a}{a(x-a)} $

2. Упростим вторую скобку. Сначала преобразуем первый член и разность:
$ x - \frac{x^2+a^2}{x+a} = \frac{x(x+a) - (x^2+a^2)}{x+a} = \frac{x^2+ax-x^2-a^2}{x+a} = \frac{ax-a^2}{x+a} = \frac{a(x-a)}{x+a} $
Теперь вторая скобка имеет вид:
$ \frac{a(x-a)}{x+a} - \frac{x}{a} $

3. Выполним умножение первой упрощенной скобки на вторую:
$ \frac{x+a}{a(x-a)} \cdot \left(\frac{a(x-a)}{x+a} - \frac{x}{a}\right) $
Раскроем скобки, умножив $ \frac{x+a}{a(x-a)} $ на каждый член внутри:
$ \frac{x+a}{a(x-a)} \cdot \frac{a(x-a)}{x+a} - \frac{x+a}{a(x-a)} \cdot \frac{x}{a} = 1 - \frac{x(x+a)}{a^2(x-a)} $

4. Теперь выполним деление на $ \frac{1}{x} $ (что эквивалентно умножению на $x$):
$ \left(1 - \frac{x(x+a)}{a^2(x-a)}\right) \cdot x = x - \frac{x^2(x+a)}{a^2(x-a)} $

5. И, наконец, добавим $a$:
$ x - \frac{x^2(x+a)}{a^2(x-a)} + a = x+a - \frac{x^2(x+a)}{a^2(x-a)} $

Это и есть упрощенное выражение. Теперь найдем его значение при $x = 2,3$ и $a = -1,4$.
Вычислим значения некоторых частей выражения:
$ x+a = 2,3 + (-1,4) = 0,9 $
$ x-a = 2,3 - (-1,4) = 2,3 + 1,4 = 3,7 $
$ x^2 = (2,3)^2 = 5,29 $
$ a^2 = (-1,4)^2 = 1,96 $
Подставим эти значения в упрощенное выражение:
$ (x+a) - \frac{x^2(x+a)}{a^2(x-a)} = 0,9 - \frac{5,29 \cdot 0,9}{1,96 \cdot 3,7} = 0,9 - \frac{4,761}{7,252} $
Вынесем общий множитель $ (x+a) $ за скобку для удобства:
$ (x+a) \left(1 - \frac{x^2}{a^2(x-a)}\right) = 0,9 \left(1 - \frac{5,29}{1,96 \cdot 3,7}\right) = 0,9 \left(1 - \frac{5,29}{7,252}\right) $
Перейдем к обыкновенным дробям для точного расчета:
$ x = \frac{23}{10}, a = -\frac{14}{10} = -\frac{7}{5} $
$ x+a = \frac{9}{10} $
$ x-a = \frac{37}{10} $
$ x^2 = \frac{529}{100} $
$ a^2 = \frac{49}{25} $
$ \frac{x^2}{a^2(x-a)} = \frac{529/100}{(49/25) \cdot (37/10)} = \frac{529}{100} \cdot \frac{250}{49 \cdot 37} = \frac{529}{100_4} \cdot \frac{250^{10}}{1813} = \frac{529 \cdot 10}{4 \cdot 1813} = \frac{5290}{7252} = \frac{2645}{3626} $
Подставляем в выражение $ (x+a) \left(1 - \frac{x^2}{a^2(x-a)}\right) $:
$ \frac{9}{10} \left(1 - \frac{2645}{3626}\right) = \frac{9}{10} \left(\frac{3626 - 2645}{3626}\right) = \frac{9}{10} \cdot \frac{981}{3626} = \frac{8829}{36260} $

Ответ: $ \frac{8829}{36260} $