Номер 10.4, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.4.

1) $\frac{2x - 5}{x + 5} + \frac{3x + 4}{x + 2} = 1;$

2) $\frac{2x + 1}{x - 3} + \frac{2x - 3}{4x + 3} = -7\frac{1}{11};$

3) $\frac{4 - 3x}{x + 1} + \frac{x + 1}{4 - 3x} = \frac{50}{7};$

4) $\frac{2x - 5}{3x + 1} + \frac{21x + 7}{2x - 5} = 8.$

1) $\frac{2x - 5}{x + 5} + \frac{3x + 4}{x + 2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 5 \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+5)(x+2)$:

$\frac{(2x - 5)(x + 2)}{(x + 5)(x + 2)} + \frac{(3x + 4)(x + 5)}{(x + 5)(x + 2)} = 1$

Умножим обе части уравнения на $(x+5)(x+2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$(2x - 5)(x + 2) + (3x + 4)(x + 5) = (x + 5)(x + 2)$

Раскроем скобки:

$(2x^2 + 4x - 5x - 10) + (3x^2 + 15x + 4x + 20) = x^2 + 2x + 5x + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - x - 10) + (3x^2 + 19x + 20) = x^2 + 7x + 10$

$5x^2 + 18x + 10 = x^2 + 7x + 10$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$5x^2 - x^2 + 18x - 7x + 10 - 10 = 0$

$4x^2 + 11x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(4x + 11) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$4x + 11 = 0 \implies 4x = -11 \implies x_2 = -\frac{11}{4} = -2.75$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($0 \neq -5, 0 \neq -2$ и $-2.75 \neq -5, -2.75 \neq -2$).

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2.75$.

2) $\frac{2x + 1}{x - 3} + \frac{2x - 3}{4x + 3} = -7\frac{1}{11}$

ОДЗ: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $4x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{4}$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-7\frac{1}{11} = -\frac{78}{11}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x-3)(4x+3)$:

$\frac{(2x + 1)(4x + 3) + (2x - 3)(x - 3)}{(x - 3)(4x + 3)} = -\frac{78}{11}$

Раскроем скобки в числителе: $(8x^2 + 6x + 4x + 3) + (2x^2 - 6x - 3x + 9) = 10x^2 + x + 12$.

Раскроем скобки в знаменателе: $4x^2 + 3x - 12x - 9 = 4x^2 - 9x - 9$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{10x^2 + x + 12}{4x^2 - 9x - 9} = -\frac{78}{11}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$11(10x^2 + x + 12) = -78(4x^2 - 9x - 9)$

$110x^2 + 11x + 132 = -312x^2 + 702x + 702$

Перенесем все члены в левую часть:

$110x^2 + 312x^2 + 11x - 702x + 132 - 702 = 0$

$422x^2 - 691x - 570 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-691)^2 - 4(422)(-570) = 477481 + 962160 = 1439641$

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{691 \pm \sqrt{1439641}}{2 \cdot 422} = \frac{691 \pm \sqrt{1439641}}{844}$

Корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{691 - \sqrt{1439641}}{844}, x_2 = \frac{691 + \sqrt{1439641}}{844}$.

3) $\frac{4 - 3x}{x + 1} + \frac{x + 1}{4 - 3x} = \frac{50}{7}$

ОДЗ: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ и $4 - 3x \neq 0 \implies x \neq \frac{4}{3}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{4 - 3x}{x + 1}$. Тогда вторая дробь будет $\frac{1}{y}$.

Уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{y} = \frac{50}{7}$

Умножим обе части на $7y$ (где $y \neq 0$):

$7y^2 + 7 = 50y$

$7y^2 - 50y + 7 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-50)^2 - 4(7)(7) = 2500 - 196 = 2304 = 48^2$.

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{50 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7$

$y_2 = \frac{50 - 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Теперь выполним обратную замену:

Случай 1: $\frac{4 - 3x}{x + 1} = 7$

$4 - 3x = 7(x + 1)$

$4 - 3x = 7x + 7$

$-3 = 10x \implies x_1 = -0.3$

Случай 2: $\frac{4 - 3x}{x + 1} = \frac{1}{7}$

$7(4 - 3x) = x + 1$

$28 - 21x = x + 1$

$27 = 22x \implies x_2 = \frac{27}{22}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = -0.3, x_2 = \frac{27}{22}$.

4) $\frac{2x - 5}{3x + 1} + \frac{21x + 7}{2x - 5} = 8$

ОДЗ: $3x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{3}$ и $2x - 5 \neq 0 \implies x \neq \frac{5}{2}$.

Заметим, что числитель второй дроби можно упростить: $21x + 7 = 7(3x+1)$.

Уравнение переписывается в виде:

$\frac{2x - 5}{3x + 1} + \frac{7(3x + 1)}{2x - 5} = 8$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{2x - 5}{3x + 1}$. Тогда второй член равен $\frac{7}{y}$.

Уравнение принимает вид:

$y + \frac{7}{y} = 8$

Умножим обе части на $y$ (где $y \neq 0$):

$y^2 + 7 = 8y$

$y^2 - 8y + 7 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$y_1 = 1, y_2 = 7$

Выполним обратную замену:

Случай 1: $\frac{2x - 5}{3x + 1} = 1$

$2x - 5 = 3x + 1$

$-x = 6 \implies x_1 = -6$

Случай 2: $\frac{2x - 5}{3x + 1} = 7$

$2x - 5 = 7(3x + 1)$

$2x - 5 = 21x + 7$

$-19x = 12 \implies x_2 = -\frac{12}{19}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = -6, x_2 = -\frac{12}{19}$.