Номер 10.3, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.3. 1) $ \frac{x^2 - 2x}{x - 1} - \frac{2x - 1}{1 - x} = 3; $

2) $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 3} + \frac{x + 1}{3 - x} = 4; $

3) $ \frac{2}{x - 4} + \frac{4}{x^2 - 4x} = 0,625; $

4) $ \frac{36}{x^2 - 12x} - \frac{3}{x - 12} = 3. $

1) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 2x}{x - 1} - \frac{2x - 1}{1 - x} = 3$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$ и $1 - x \neq 0$. В обоих случаях получаем, что $x \neq 1$.

Заметим, что знаменатель второй дроби можно представить как $1 - x = -(x - 1)$. Подставим это в уравнение:

$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} - \frac{2x - 1}{-(x - 1)} = 3$

Знак "минус" перед дробью можно вынести, и он изменится на "плюс":

$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} + \frac{2x - 1}{x - 1} = 3$

Так как у дробей теперь одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{x^2 - 2x + 2x - 1}{x - 1} = 3$

Упростим числитель:

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 3$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = 3$

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:

$x + 1 = 3$

Решаем полученное линейное уравнение:

$x = 3 - 1$

$x = 2$

Полученный корень $x = 2$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: 2.

2) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 3} + \frac{x + 1}{3 - x} = 4$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, $x - 3 \neq 0$ и $3 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Преобразуем знаменатель второй дроби: $3 - x = -(x - 3)$.

$\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 3} + \frac{x + 1}{-(x - 3)} = 4$

$\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 3} - \frac{x + 1}{x - 3} = 4$

Теперь вычтем числители дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{(x^2 - 2x + 1) - (x + 1)}{x - 3} = 4$

$\frac{x^2 - 2x + 1 - x - 1}{x - 3} = 4$

$\frac{x^2 - 3x}{x - 3} = 4$

Вынесем в числителе общий множитель $x$ за скобки:

$\frac{x(x - 3)}{x - 3} = 4$

Сократим дробь на $(x - 3)$, так как по ОДЗ $x \neq 3$:

$x = 4$

Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

3) Исходное уравнение: $\frac{2}{x - 4} + \frac{4}{x^2 - 4x} = 0,625$.

ОДЗ: $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$. Разложим второй знаменатель: $x^2 - 4x = x(x - 4)$. Отсюда $x(x - 4) \neq 0$, что дает $x \neq 0$ и $x \neq 4$. Итак, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,625 = \frac{625}{1000} = \frac{5}{8}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{2}{x - 4} + \frac{4}{x(x - 4)} = \frac{5}{8}$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 4)$:

$\frac{2x}{x(x - 4)} + \frac{4}{x(x - 4)} = \frac{5}{8}$

$\frac{2x + 4}{x(x - 4)} = \frac{5}{8}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$8(2x + 4) = 5(x^2 - 4x)$

$16x + 32 = 5x^2 - 20x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 20x - 16x - 32 = 0$

$5x^2 - 36x - 32 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-32) = 1296 + 640 = 1936$

Так как $\sqrt{1936} = 44$, найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 44}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 44}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0,8$

Оба корня, $x = 8$ и $x = -0,8$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 4$).

Ответ: -0,8; 8.

4) Исходное уравнение: $\frac{36}{x^2 - 12x} - \frac{3}{x - 12} = 3$.

ОДЗ: разложим первый знаменатель на множители $x^2 - 12x = x(x - 12)$. Условия на знаменатели: $x(x - 12) \neq 0$ и $x - 12 \neq 0$. Отсюда получаем $x \neq 0$ и $x \neq 12$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 12)$:

$\frac{36}{x(x - 12)} - \frac{3x}{x(x - 12)} = 3$

$\frac{36 - 3x}{x(x - 12)} = 3$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x(x - 12)$, так как он не равен нулю в ОДЗ:

$36 - 3x = 3 \cdot x(x - 12)$

$36 - 3x = 3x^2 - 36x$

Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:

$12 - x = x^2 - 12x$

Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = x^2 - 12x + x - 12$

$x^2 - 11x - 12 = 0$

Решим это уравнение по теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = 11$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -12$.

Методом подбора находим корни: $x_1 = 12$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 12$).

Корень $x_1 = 12$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.