Номер 9.40, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.40. Решите уравнение:

1) $3 + 2x - x^2 = 0;$

2) $5x^2 + 7 = 3(2-3x);$

3) $2x^3 + 7x^2 - 5 = x^2(2x+3);$

4) $x^2 + 7 = 3x(3-x).$

1)Исходное уравнение: $3 + 2x - x^2 = 0$.
Это квадратное уравнение. Для удобства решения умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным.
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Стандартный вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$.
В нашем случае, $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.
Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Ответ: -1; 3.

2)Исходное уравнение: $5x^2 + 7 = 3(2 - 3x)$.
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$5x^2 + 7 = 6 - 9x$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$5x^2 + 9x + 7 - 6 = 0$.
$5x^2 + 9x + 1 = 0$.
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Здесь $a = 5$, $b = 9$, $c = 1$.
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 81 - 20 = 61$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 \pm \sqrt{61}}{10}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-9 + \sqrt{61}}{10}$ и $x_2 = \frac{-9 - \sqrt{61}}{10}$.
Ответ: $\frac{-9 - \sqrt{61}}{10}$; $\frac{-9 + \sqrt{61}}{10}$.

3)Исходное уравнение: $2x^3 + 7x^2 - 5 = x^2(2x + 3)$.
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$2x^3 + 7x^2 - 5 = 2x^3 + 3x^2$.
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^3 - 2x^3 + 7x^2 - 3x^2 - 5 = 0$.
Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^3$ взаимно уничтожаются.
$4x^2 - 5 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$4x^2 = 5$.
Разделим обе части на 4:
$x^2 = \frac{5}{4}$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{5}{4}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{2}$; $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

4)Исходное уравнение: $x^2 + 7 = 3x(3 - x)$.
Раскроем скобки в правой части:
$x^2 + 7 = 9x - 3x^2$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 3x^2 - 9x + 7 = 0$.
$4x^2 - 9x + 7 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Здесь $a = 4$, $b = -9$, $c = 7$.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.