Номер 10.1, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.1. Найдите корни уравнения:

1) $\frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{x+3} = 0;$

2) $\frac{x^2}{x^2 - 4} - \frac{5x - 6}{x^2 - 4} = 0;$

3) $\frac{x+2}{x} - \frac{5x+1}{x+1} = 0;$

4) $\frac{2x-1}{x+7} - \frac{3x+4}{x-1} = 0;$

5) $\frac{2x^2}{x-7} + \frac{7x-6}{2-x} = 0;$

6) $\frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x}.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2}{x+3} - \frac{x}{x+3} = 0 $

Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем объединить их в одну дробь:

$ \frac{x^2 - x}{x+3} = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x + 3 \neq 0 $, откуда $ x \neq -3 $.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$ x^2 - x = 0 $

Вынесем $x$ за скобки:

$ x(x - 1) = 0 $

Отсюда получаем два корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 1 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ 0 \neq -3 $ и $ 1 \neq -3 $), следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: 0; 1.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2}{x^2 - 4} - \frac{5x - 6}{x^2 - 4} = 0 $

Объединим дроби, так как у них общий знаменатель:

$ \frac{x^2 - (5x - 6)}{x^2 - 4} = 0 $

$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = 0 $

ОДЗ: $ x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 $. Значит, $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.

Приравняем числитель к нулю:

$ x^2 - 5x + 6 = 0 $

Используя теорему Виета, находим корни: сумма корней равна 5, произведение равно 6. Это корни $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_1 = 2 $ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $ x_2 = 3 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 3.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{x+2}{x} - \frac{5x+1}{x+1} = 0 $

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ x(x+1) $:

$ \frac{(x+2)(x+1)}{x(x+1)} - \frac{(5x+1)x}{x(x+1)} = 0 $

$ \frac{(x+2)(x+1) - x(5x+1)}{x(x+1)} = 0 $

Приравняем числитель к нулю:

$ (x+2)(x+1) - x(5x+1) = 0 $

$ x^2 + x + 2x + 2 - 5x^2 - x = 0 $

$ -4x^2 + 2x + 2 = 0 $

Разделим обе части на -2 для упрощения:

$ 2x^2 - x - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{4} $

$ x_1 = \frac{1+3}{4} = 1 $

$ x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -0.5; 1.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{2x-1}{x+7} - \frac{3x+4}{x-1} = 0 $

ОДЗ: $ x+7 \neq 0 \implies x \neq -7 $ и $ x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x+7)(x-1) $:

$ \frac{(2x-1)(x-1) - (3x+4)(x+7)}{(x+7)(x-1)} = 0 $

Приравняем числитель к нулю:

$ (2x-1)(x-1) - (3x+4)(x+7) = 0 $

$ (2x^2 - 2x - x + 1) - (3x^2 + 21x + 4x + 28) = 0 $

$ (2x^2 - 3x + 1) - (3x^2 + 25x + 28) = 0 $

$ 2x^2 - 3x + 1 - 3x^2 - 25x - 28 = 0 $

$ -x^2 - 28x - 27 = 0 $

Умножим на -1:

$ x^2 + 28x + 27 = 0 $

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $ x_1 = -1 $, $ x_2 = -27 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -27; -1.

5)

Исходное уравнение: $ \frac{2x^2}{x-7} + \frac{7x-6}{2-x} = 0 $

ОДЗ: $ x-7 \neq 0 \implies x \neq 7 $ и $ 2-x \neq 0 \implies x \neq 2 $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (x-7)(2-x) $:

$ \frac{2x^2(2-x) + (7x-6)(x-7)}{(x-7)(2-x)} = 0 $

Приравниваем числитель к нулю:

$ 2x^2(2-x) + (7x-6)(x-7) = 0 $

$ 4x^2 - 2x^3 + 7x^2 - 49x - 6x + 42 = 0 $

Приводим подобные члены:

$ -2x^3 + 11x^2 - 55x + 42 = 0 $

Умножим уравнение на -1:

$ 2x^3 - 11x^2 + 55x - 42 = 0 $

Это кубическое уравнение. Попытка найти целые или рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях показывает, что таких корней у уравнения нет. Решение данного уравнения требует более сложных методов, выходящих за рамки стандартной школьной программы. Вероятно, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: В рациональных числах корней нет.

6)

Исходное уравнение: $ \frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x} $

ОДЗ: $ 2x+3 \neq 0 \implies x \neq -1.5 $ и $ 3-2x \neq 0 \implies x \neq 1.5 $.

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ (x-1)(3-2x) = (2x-1)(2x+3) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 3x - 2x^2 - 3 + 2x = 4x^2 + 6x - 2x - 3 $

Приведем подобные члены:

$ -2x^2 + 5x - 3 = 4x^2 + 4x - 3 $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ -2x^2 - 4x^2 + 5x - 4x - 3 + 3 = 0 $

$ -6x^2 + x = 0 $

Вынесем $x$ за скобки:

$ x(-6x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$ x_1 = 0 $ или $ -6x + 1 = 0 \implies 6x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{6} $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0; 1/6.