Номер 10.8, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.8. 1) $\frac{3}{x^2 - 2x + 1} + \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{x + 1}$;

2) $\frac{4}{x^2 + 6x + 9} - \frac{6}{9 - x^2} = \frac{1}{x - 3}$.

1) $ \frac{3}{x^2 - 2x + 1} + \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{x + 1} $

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого приравняем знаменатели к нулю и исключим полученные значения $x$.

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \neq 0 \implies x \neq 1$

$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь преобразуем уравнение, разложив знаменатели на множители. Обратим внимание, что $1 - x^2 = -(x^2 - 1) = -(x - 1)(x + 1)$.

$ \frac{3}{(x - 1)^2} + \frac{2}{-(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1} $

$ \frac{3}{(x - 1)^2} - \frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, который равен $(x - 1)^2(x + 1)$.

$ \frac{3(x-1)^2(x+1)}{(x-1)^2} - \frac{2(x-1)^2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{1(x-1)^2(x+1)}{x+1} $

$ 3(x + 1) - 2(x - 1) = (x - 1)^2 $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$ 3x + 3 - 2x + 2 = x^2 - 2x + 1 $

$ x + 5 = x^2 - 2x + 1 $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ x^2 - 2x - x + 1 - 5 = 0 $

$ x^2 - 3x - 4 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$, $x \neq -1$).

Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 4

2) $ \frac{4}{x^2 + 6x + 9} - \frac{6}{9 - x^2} = \frac{1}{x - 3} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \neq 0 \implies x \neq -3$

$9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Преобразуем уравнение. Используем формулы сокращенного умножения для знаменателей: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ и $9 - x^2 = -(x^2 - 9) = -(x-3)(x+3)$.

$ \frac{4}{(x + 3)^2} - \frac{6}{-(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x - 3} $

$ \frac{4}{(x + 3)^2} + \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x - 3} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 3)^2(x - 3)$, чтобы избавиться от дробей.

$ \frac{4(x+3)^2(x-3)}{(x+3)^2} + \frac{6(x+3)^2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{1(x+3)^2(x-3)}{x-3} $

$ 4(x - 3) + 6(x + 3) = (x + 3)^2 $

Раскроем скобки и решим уравнение:

$ 4x - 12 + 6x + 18 = x^2 + 6x + 9 $

$ 10x + 6 = x^2 + 6x + 9 $

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 + 6x - 10x + 9 - 6 = 0 $

$ x^2 - 4x + 3 = 0 $

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $x_1=1$, $x_2=3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$, $x \neq -3$).

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели $9-x^2$ и $x-3$ обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: 1