Номер 10.9, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.9. 1) $\frac{3x+1}{x+2} - 1 = \frac{x-1}{x-2}$;

2) $\frac{y+3}{y-3} + \frac{2y-2}{y+3} - 5 = 0$;

3) $\frac{5}{1-3y} + \frac{4}{1+3y} = \frac{4}{9y^2-1}$;

4) $\frac{3y+4}{y^2-2y} - \frac{1}{2-y} = \frac{3y-2}{y}$.

1) Решим уравнение $ \frac{3x + 1}{x + 2} - 1 = \frac{x - 1}{x - 2} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ x + 2 \neq 0 $ и $ x - 2 \neq 0 $. Отсюда следует, что $ x \neq -2 $ и $ x \neq 2 $.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $ (x + 2)(x - 2) $. Для этого умножим каждый член на недостающий множитель:

$ \frac{(3x + 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{1 \cdot (x + 2)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} $

Так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числители:

$ (3x + 1)(x - 2) - (x^2 - 4) = (x - 1)(x + 2) $

Раскроем скобки в уравнении:

$ (3x^2 - 6x + x - 2) - x^2 + 4 = x^2 + 2x - x - 2 $

Упростим, приведя подобные слагаемые:

$ 2x^2 - 5x + 2 = x^2 + x - 2 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 - 5x - x + 2 + 2 = 0 $

$ x^2 - 6x + 4 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 $

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} $

Полученные корни $ x_1 = 3 + \sqrt{5} $ и $ x_2 = 3 - \sqrt{5} $ не равны $ \pm 2 $, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5} $.

2) Решим уравнение $ \frac{y + 3}{y - 3} + \frac{2y - 2}{y + 3} - 5 = 0 $.

ОДЗ: $ y - 3 \neq 0 $ и $ y + 3 \neq 0 $, то есть $ y \neq 3 $ и $ y \neq -3 $.

Общий знаменатель для дробей — $ (y - 3)(y + 3) = y^2 - 9 $. Умножим всё уравнение на этот знаменатель:

$ (y + 3)(y + 3) + (2y - 2)(y - 3) - 5(y - 3)(y + 3) = 0 $

Раскроем скобки:

$ (y^2 + 6y + 9) + (2y^2 - 6y - 2y + 6) - 5(y^2 - 9) = 0 $

$ y^2 + 6y + 9 + 2y^2 - 8y + 6 - 5y^2 + 45 = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (y^2 + 2y^2 - 5y^2) + (6y - 8y) + (9 + 6 + 45) = 0 $

$ -2y^2 - 2y + 60 = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ -2 $ для упрощения:

$ y^2 + y - 30 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $ -1 $, а их произведение равно $ -30 $. Подбором находим корни: $ y_1 = 5 $ и $ y_2 = -6 $.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ. Оба корня $ y_1 = 5 $ и $ y_2 = -6 $ не равны $ \pm 3 $, поэтому являются решениями уравнения.

Ответ: $ -6; 5 $.

3) Решим уравнение $ \frac{5}{1 - 3y} + \frac{4}{1 + 3y} = \frac{4}{9y^2 - 1} $.

ОДЗ: $ 1 - 3y \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{3} $; $ 1 + 3y \neq 0 \Rightarrow y \neq -\frac{1}{3} $; $ 9y^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (3y - 1)(3y + 1) \neq 0 \Rightarrow y \neq \pm \frac{1}{3} $.

Заметим, что знаменатель в правой части $ 9y^2 - 1 = (3y - 1)(3y + 1) $. Его можно представить как $ -(1 - 3y)(1 + 3y) $. Перепишем уравнение:

$ \frac{5}{1 - 3y} + \frac{4}{1 + 3y} = \frac{4}{-(1 - 3y)(1 + 3y)} $

$ \frac{5}{1 - 3y} + \frac{4}{1 + 3y} = -\frac{4}{(1 - 3y)(1 + 3y)} $

Общий знаменатель — $ (1 - 3y)(1 + 3y) $. Умножим на него обе части уравнения:

$ 5(1 + 3y) + 4(1 - 3y) = -4 $

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$ 5 + 15y + 4 - 12y = -4 $

$ 9 + 3y = -4 $

$ 3y = -4 - 9 $

$ 3y = -13 $

$ y = -\frac{13}{3} $

Полученный корень $ y = -13/3 $ не равен $ \pm 1/3 $, значит, он удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{13}{3} $.

4) Решим уравнение $ \frac{3y + 4}{y^2 - 2y} - \frac{1}{2 - y} = \frac{3y - 2}{y} $.

ОДЗ: $ y^2 - 2y \neq 0 \Rightarrow y(y - 2) \neq 0 \Rightarrow y \neq 0, y \neq 2 $; $ 2 - y \neq 0 \Rightarrow y \neq 2 $; $ y \neq 0 $. Таким образом, $ y \neq 0 $ и $ y \neq 2 $.

Преобразуем знаменатели для приведения к общему виду: $ y^2 - 2y = y(y - 2) $ и $ 2 - y = -(y - 2) $. Подставим это в уравнение:

$ \frac{3y + 4}{y(y - 2)} - \frac{1}{-(y - 2)} = \frac{3y - 2}{y} $

$ \frac{3y + 4}{y(y - 2)} + \frac{1}{y - 2} = \frac{3y - 2}{y} $

Общий знаменатель — $ y(y - 2) $. Умножим на него все члены уравнения:

$ (3y + 4) + 1 \cdot y = (3y - 2)(y - 2) $

Раскроем скобки и упростим:

$ 4y + 4 = 3y^2 - 6y - 2y + 4 $

$ 4y + 4 = 3y^2 - 8y + 4 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ 0 = 3y^2 - 8y - 4y + 4 - 4 $

$ 3y^2 - 12y = 0 $

Вынесем за скобки общий множитель $ 3y $:

$ 3y(y - 4) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два возможных корня: $ 3y = 0 \Rightarrow y_1 = 0 $ или $ y - 4 = 0 \Rightarrow y_2 = 4 $.

Проверим корни по ОДЗ ($ y \neq 0, y \neq 2 $). Корень $ y_1 = 0 $ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $ y_2 = 4 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 4 $.