Страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.9. 1) $\frac{3x+1}{x+2} - 1 = \frac{x-1}{x-2}$;

2) $\frac{y+3}{y-3} + \frac{2y-2}{y+3} - 5 = 0$;

3) $\frac{5}{1-3y} + \frac{4}{1+3y} = \frac{4}{9y^2-1}$;

4) $\frac{3y+4}{y^2-2y} - \frac{1}{2-y} = \frac{3y-2}{y}$.

1) Решим уравнение $ \frac{3x + 1}{x + 2} - 1 = \frac{x - 1}{x - 2} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ x + 2 \neq 0 $ и $ x - 2 \neq 0 $. Отсюда следует, что $ x \neq -2 $ и $ x \neq 2 $.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $ (x + 2)(x - 2) $. Для этого умножим каждый член на недостающий множитель:

$ \frac{(3x + 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{1 \cdot (x + 2)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} $

Так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числители:

$ (3x + 1)(x - 2) - (x^2 - 4) = (x - 1)(x + 2) $

Раскроем скобки в уравнении:

$ (3x^2 - 6x + x - 2) - x^2 + 4 = x^2 + 2x - x - 2 $

Упростим, приведя подобные слагаемые:

$ 2x^2 - 5x + 2 = x^2 + x - 2 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 - 5x - x + 2 + 2 = 0 $

$ x^2 - 6x + 4 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 $

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} $

Полученные корни $ x_1 = 3 + \sqrt{5} $ и $ x_2 = 3 - \sqrt{5} $ не равны $ \pm 2 $, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5} $.

2) Решим уравнение $ \frac{y + 3}{y - 3} + \frac{2y - 2}{y + 3} - 5 = 0 $.

ОДЗ: $ y - 3 \neq 0 $ и $ y + 3 \neq 0 $, то есть $ y \neq 3 $ и $ y \neq -3 $.

Общий знаменатель для дробей — $ (y - 3)(y + 3) = y^2 - 9 $. Умножим всё уравнение на этот знаменатель:

$ (y + 3)(y + 3) + (2y - 2)(y - 3) - 5(y - 3)(y + 3) = 0 $

Раскроем скобки:

$ (y^2 + 6y + 9) + (2y^2 - 6y - 2y + 6) - 5(y^2 - 9) = 0 $

$ y^2 + 6y + 9 + 2y^2 - 8y + 6 - 5y^2 + 45 = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (y^2 + 2y^2 - 5y^2) + (6y - 8y) + (9 + 6 + 45) = 0 $

$ -2y^2 - 2y + 60 = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ -2 $ для упрощения:

$ y^2 + y - 30 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $ -1 $, а их произведение равно $ -30 $. Подбором находим корни: $ y_1 = 5 $ и $ y_2 = -6 $.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ. Оба корня $ y_1 = 5 $ и $ y_2 = -6 $ не равны $ \pm 3 $, поэтому являются решениями уравнения.

Ответ: $ -6; 5 $.

3) Решим уравнение $ \frac{5}{1 - 3y} + \frac{4}{1 + 3y} = \frac{4}{9y^2 - 1} $.

ОДЗ: $ 1 - 3y \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{3} $; $ 1 + 3y \neq 0 \Rightarrow y \neq -\frac{1}{3} $; $ 9y^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (3y - 1)(3y + 1) \neq 0 \Rightarrow y \neq \pm \frac{1}{3} $.

Заметим, что знаменатель в правой части $ 9y^2 - 1 = (3y - 1)(3y + 1) $. Его можно представить как $ -(1 - 3y)(1 + 3y) $. Перепишем уравнение:

$ \frac{5}{1 - 3y} + \frac{4}{1 + 3y} = \frac{4}{-(1 - 3y)(1 + 3y)} $

$ \frac{5}{1 - 3y} + \frac{4}{1 + 3y} = -\frac{4}{(1 - 3y)(1 + 3y)} $

Общий знаменатель — $ (1 - 3y)(1 + 3y) $. Умножим на него обе части уравнения:

$ 5(1 + 3y) + 4(1 - 3y) = -4 $

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$ 5 + 15y + 4 - 12y = -4 $

$ 9 + 3y = -4 $

$ 3y = -4 - 9 $

$ 3y = -13 $

$ y = -\frac{13}{3} $

Полученный корень $ y = -13/3 $ не равен $ \pm 1/3 $, значит, он удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{13}{3} $.

4) Решим уравнение $ \frac{3y + 4}{y^2 - 2y} - \frac{1}{2 - y} = \frac{3y - 2}{y} $.

ОДЗ: $ y^2 - 2y \neq 0 \Rightarrow y(y - 2) \neq 0 \Rightarrow y \neq 0, y \neq 2 $; $ 2 - y \neq 0 \Rightarrow y \neq 2 $; $ y \neq 0 $. Таким образом, $ y \neq 0 $ и $ y \neq 2 $.

Преобразуем знаменатели для приведения к общему виду: $ y^2 - 2y = y(y - 2) $ и $ 2 - y = -(y - 2) $. Подставим это в уравнение:

$ \frac{3y + 4}{y(y - 2)} - \frac{1}{-(y - 2)} = \frac{3y - 2}{y} $

$ \frac{3y + 4}{y(y - 2)} + \frac{1}{y - 2} = \frac{3y - 2}{y} $

Общий знаменатель — $ y(y - 2) $. Умножим на него все члены уравнения:

$ (3y + 4) + 1 \cdot y = (3y - 2)(y - 2) $

Раскроем скобки и упростим:

$ 4y + 4 = 3y^2 - 6y - 2y + 4 $

$ 4y + 4 = 3y^2 - 8y + 4 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ 0 = 3y^2 - 8y - 4y + 4 - 4 $

$ 3y^2 - 12y = 0 $

Вынесем за скобки общий множитель $ 3y $:

$ 3y(y - 4) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два возможных корня: $ 3y = 0 \Rightarrow y_1 = 0 $ или $ y - 4 = 0 \Rightarrow y_2 = 4 $.

Проверим корни по ОДЗ ($ y \neq 0, y \neq 2 $). Корень $ y_1 = 0 $ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $ y_2 = 4 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 4 $.

10.10. При каком значении $x$ значение функции $f(x) = \frac{2x - 3}{x + 2}$ равно:

1) -3;

2) -1,5;

3) 0;

4) 5,5;

5) 7;

6) 10?

Чтобы найти значение $x$, при котором значение функции $f(x) = \frac{2x - 3}{x + 2}$ равно заданному числу, необходимо приравнять функцию к этому числу и решить полученное уравнение. Область определения функции: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

1) Найдем $x$, при котором $f(x) = -3$.

$\frac{2x - 3}{x + 2} = -3$

Умножим обе части уравнения на $(x + 2)$:

$2x - 3 = -3(x + 2)$

$2x - 3 = -3x - 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$2x + 3x = -6 + 3$

$5x = -3$

$x = -\frac{3}{5} = -0.6$

Полученное значение $x = -0.6$ не равно $-2$, значит, оно является корнем уравнения.

Ответ: $x = -0.6$.

2) Найдем $x$, при котором $f(x) = -1.5$.

$\frac{2x - 3}{x + 2} = -1.5$

$2x - 3 = -1.5(x + 2)$

$2x - 3 = -1.5x - 3$

$2x + 1.5x = -3 + 3$

$3.5x = 0$

$x = 0$

Полученное значение $x = 0$ не равно $-2$, значит, оно является корнем уравнения.

Ответ: $x = 0$.

3) Найдем $x$, при котором $f(x) = 0$.

$\frac{2x - 3}{x + 2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

При $x = 1.5$ знаменатель $x+2 = 1.5+2 = 3.5 \neq 0$.

Ответ: $x = 1.5$.

4) Найдем $x$, при котором $f(x) = 5.5$.

$\frac{2x - 3}{x + 2} = 5.5$

$2x - 3 = 5.5(x + 2)$

$2x - 3 = 5.5x + 11$

$2x - 5.5x = 11 + 3$

$-3.5x = 14$

$x = \frac{14}{-3.5} = -4$

Полученное значение $x = -4$ не равно $-2$, значит, оно является корнем уравнения.

Ответ: $x = -4$.

5) Найдем $x$, при котором $f(x) = 7$.

$\frac{2x - 3}{x + 2} = 7$

$2x - 3 = 7(x + 2)$

$2x - 3 = 7x + 14$

$2x - 7x = 14 + 3$

$-5x = 17$

$x = -\frac{17}{5} = -3.4$

Полученное значение $x = -3.4$ не равно $-2$, значит, оно является корнем уравнения.

Ответ: $x = -3.4$.

6) Найдем $x$, при котором $f(x) = 10$.

$\frac{2x - 3}{x + 2} = 10$

$2x - 3 = 10(x + 2)$

$2x - 3 = 10x + 20$

$2x - 10x = 20 + 3$

$-8x = 23$

$x = -\frac{23}{8} = -2.875$

Полученное значение $x = -2.875$ не равно $-2$, значит, оно является корнем уравнения.

Ответ: $x = -2.875$.

10.11. При каком значении x значение функции $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 3}$ равно:

1) -4;

2) -2,5;

3) 0;

4) 6,5;

5) 7;

6) 12?

Для решения задачи сначала упростим заданную функцию $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 3}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

2. Разложим числитель $x^2 + 2x - 3$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -2$ и их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

3. Таким образом, числитель можно представить в виде $(x - 1)(x + 3)$.

4. Подставим разложенный числитель обратно в функцию: $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 3)}{x + 3}$.

5. При условии, что $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(x + 3)$. Упрощенная функция имеет вид: $f(x) = x - 1$.

Теперь мы можем найти значения $x$ для каждого случая, решая уравнение $x - 1 = y$, где $y$ — заданное значение функции, и проверяя, удовлетворяет ли найденный $x$ ОДЗ.

1) -4;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = -4$. Используя упрощенную форму функции:
$x - 1 = -4$
$x = -4 + 1$
$x = -3$
Однако, это значение $x = -3$ исключено из области допустимых значений функции. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором функция равна -4.
Ответ: решений нет.

2) -2,5;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = -2,5$:
$x - 1 = -2,5$
$x = -2,5 + 1$
$x = -1,5$
Полученное значение $x = -1,5$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: при $x = -1,5$.

3) 0;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = 0$:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Полученное значение $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: при $x = 1$.

4) 6,5;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = 6,5$:
$x - 1 = 6,5$
$x = 6,5 + 1$
$x = 7,5$
Полученное значение $x = 7,5$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: при $x = 7,5$.

5) 7;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = 7$:
$x - 1 = 7$
$x = 7 + 1$
$x = 8$
Полученное значение $x = 8$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: при $x = 8$.

6) 12;Чтобы найти $x$, решим уравнение $f(x) = 12$:
$x - 1 = 12$
$x = 12 + 1$
$x = 13$
Полученное значение $x = 13$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: при $x = 13$.

Найдите корни уравнений (10.12–10.15):

10.12. 1) $ \frac{x}{x-4} - \frac{1}{x+1} = \frac{2-x}{x+1} + \frac{3}{x-4} $

2) $ \frac{2}{2x-1} + \frac{3}{x-3} = \frac{1+x}{x-3} + \frac{x}{2x-1} $

1) Решим уравнение $\frac{x}{x-4} - \frac{1}{x+1} = \frac{2-x}{x+1} + \frac{3}{x-4}$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$
Теперь перегруппируем члены уравнения, собрав дроби с одинаковыми знаменателями в одной части:
$\frac{x}{x-4} - \frac{3}{x-4} = \frac{2-x}{x+1} + \frac{1}{x+1}$
Выполним вычитание и сложение дробей:
$\frac{x-3}{x-4} = \frac{2-x+1}{x+1}$
$\frac{x-3}{x-4} = \frac{3-x}{x+1}$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$\frac{x-3}{x-4} - \frac{3-x}{x+1} = 0$
Так как $3-x = -(x-3)$, заменим это в уравнении:
$\frac{x-3}{x-4} - \frac{-(x-3)}{x+1} = 0$
$\frac{x-3}{x-4} + \frac{x-3}{x+1} = 0$
Вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:
$(x-3) \left(\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+1}\right) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $x-3 = 0 \implies x_1 = 3$. Этот корень входит в ОДЗ.
2. $\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+1} = 0$. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{(x+1) + (x-4)}{(x-4)(x+1)} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю (знаменатель не равен нулю согласно ОДЗ).
$x+1+x-4 = 0$
$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$. Этот корень также входит в ОДЗ.
Ответ: $1.5; 3$.

2) Решим уравнение $\frac{2}{2x-1} + \frac{3}{x-3} = \frac{1+x}{x-3} + \frac{x}{2x-1}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$2x - 1 \neq 0 \implies 2x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{2}$
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
Перегруппируем члены уравнения, чтобы дроби с одинаковыми знаменателями оказались в одной части:
$\frac{2}{2x-1} - \frac{x}{2x-1} = \frac{1+x}{x-3} - \frac{3}{x-3}$
Упростим обе части уравнения:
$\frac{2-x}{2x-1} = \frac{1+x-3}{x-3}$
$\frac{2-x}{2x-1} = \frac{x-2}{x-3}$
Перенесем все в левую часть:
$\frac{2-x}{2x-1} - \frac{x-2}{x-3} = 0$
Заметим, что $2-x = -(x-2)$. Подставим:
$\frac{-(x-2)}{2x-1} - \frac{x-2}{x-3} = 0$
Вынесем общий множитель $-(x-2)$ за скобки:
$-(x-2) \left(\frac{1}{2x-1} + \frac{1}{x-3}\right) = 0$
Умножим обе части на $-1$:
$(x-2) \left(\frac{1}{2x-1} + \frac{1}{x-3}\right) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $x-2 = 0 \implies x_1 = 2$. Корень входит в ОДЗ.
2. $\frac{1}{2x-1} + \frac{1}{x-3} = 0$. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{(x-3) + (2x-1)}{(2x-1)(x-3)} = 0$
Приравняем числитель к нулю:
$x-3+2x-1 = 0$
$3x - 4 = 0$
$3x = 4$
$x_2 = \frac{4}{3}$. Этот корень также входит в ОДЗ.
Ответ: $\frac{4}{3}; 2$.

10.13. 1) $\frac{5}{2x+3} - \frac{2x-3}{x+1} = 10;$

2) $\frac{x-3}{x} - \frac{x+5}{x-3} = 3.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{5}{2x+3} - \frac{2x-3}{x+1} = 10 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$2x+3 \neq 0 \implies 2x \neq -3 \implies x \neq -1.5$

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Чтобы избавиться от дробей, приведем уравнение к общему знаменателю $(2x+3)(x+1)$ и умножим на него обе части уравнения, учитывая ОДЗ:

$5(x+1) - (2x-3)(2x+3) = 10(2x+3)(x+1)$

Теперь раскроем скобки. В левой части применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В правой части выполним умножение многочленов.

$5x + 5 - ( (2x)^2 - 3^2 ) = 10(2x^2 + 2x + 3x + 3)$

$5x + 5 - (4x^2 - 9) = 10(2x^2 + 5x + 3)$

Упростим выражение:

$-4x^2 + 5x + 14 = 20x^2 + 50x + 30$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$0 = 20x^2 + 4x^2 + 50x - 5x + 30 - 14$

$24x^2 + 45x + 16 = 0$

Решим это уравнение, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 45^2 - 4 \cdot 24 \cdot 16 = 2025 - 1536 = 489$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-45 + \sqrt{489}}{2 \cdot 24} = \frac{-45 + \sqrt{489}}{48}$

$x_2 = \frac{-45 - \sqrt{489}}{2 \cdot 24} = \frac{-45 - \sqrt{489}}{48}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1.5$ и $x \neq -1$), следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = \frac{-45 + \sqrt{489}}{48}$, $x_2 = \frac{-45 - \sqrt{489}}{48}$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{x-3}{x} - \frac{x+5}{x-3} = 3 $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$x \neq 0$

$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$

Приведем уравнение к общему знаменателю $x(x-3)$ и умножим на него обе части уравнения:

$(x-3)(x-3) - x(x+5) = 3x(x-3)$

Раскроем скобки в уравнении:

$(x^2 - 6x + 9) - (x^2 + 5x) = 3x^2 - 9x$

Упростим левую часть:

$x^2 - 6x + 9 - x^2 - 5x = 3x^2 - 9x$

$-11x + 9 = 3x^2 - 9x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$3x^2 - 9x + 11x - 9 = 0$

$3x^2 + 2x - 9 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 4 + 108 = 112$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-2 \pm 4\sqrt{7}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{7}}{6}$

Сократим дробь на 2, разделив числитель и знаменатель:

$x = \frac{2(-1 \pm 2\sqrt{7})}{6} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{7}}{3}$

Таким образом, мы получили два корня:

$x_1 = \frac{-1 + 2\sqrt{7}}{3}$

$x_2 = \frac{-1 - 2\sqrt{7}}{3}$

Оба корня не равны 0 или 3, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{-1 + 2\sqrt{7}}{3}$, $x_2 = \frac{-1 - 2\sqrt{7}}{3}$.

10.14.

1) $(3x + 1)^2 + (4x - 1)^2 = (5x - 2)^2$;

2) $(12x + 1)^2 + (5x - 1)^2 = (13x - 1)^2$.

1) Исходное уравнение: $(3x + 1)^2 + (4x - 1)^2 = (5x - 2)^2$.

Для решения раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Левая часть:

$(3x + 1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1$

$(4x - 1)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1$

Правая часть:

$(5x - 2)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = 25x^2 - 20x + 4$

Подставим раскрытые скобки обратно в уравнение:

$(9x^2 + 6x + 1) + (16x^2 - 8x + 1) = 25x^2 - 20x + 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(9x^2 + 16x^2) + (6x - 8x) + (1 + 1) = 25x^2 - 20x + 4$

$25x^2 - 2x + 2 = 25x^2 - 20x + 4$

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы решить его относительно $x$.

$25x^2 - 2x + 2 - 25x^2 + 20x - 4 = 0$

Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$(-2x + 20x) + (2 - 4) = 0$

$18x - 2 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$18x = 2$

$x = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Ответ: $x = \frac{1}{9}$.

2) Исходное уравнение: $(12x + 1)^2 + (5x - 1)^2 = (13x - 1)^2$.

Аналогично первому пункту, раскроем все скобки.

Левая часть:

$(12x + 1)^2 = (12x)^2 + 2 \cdot 12x \cdot 1 + 1^2 = 144x^2 + 24x + 1$

$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$

Правая часть:

$(13x - 1)^2 = (13x)^2 - 2 \cdot 13x \cdot 1 + 1^2 = 169x^2 - 26x + 1$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(144x^2 + 24x + 1) + (25x^2 - 10x + 1) = 169x^2 - 26x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(144x^2 + 25x^2) + (24x - 10x) + (1 + 1) = 169x^2 - 26x + 1$

$169x^2 + 14x + 2 = 169x^2 - 26x + 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$169x^2 + 14x + 2 - 169x^2 + 26x - 1 = 0$

Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются, так как $169-169=0$.

$(14x + 26x) + (2 - 1) = 0$

$40x + 1 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$40x = -1$

$x = -\frac{1}{40}$

Ответ: $x = -\frac{1}{40}$.

10.15. 1) $(x-1) \cdot \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}\right) = 0;$

2) $x \cdot \left(1 + \frac{5}{x-2} + \frac{1}{(x+1) \cdot (x-2)}\right) = 0.$

1) $(x-1) \cdot (2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}) = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x \neq 0$

$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Значение $x=1$ входит в ОДЗ, следовательно, является корнем уравнения.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = 0$

Приведем все члены к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{2x(x+2)}{x(x+2)} + \frac{1(x+2)}{x(x+2)} - \frac{1x}{x(x+2)} = 0$

$\frac{2x^2 + 4x + x + 2 - x}{x(x+2)} = 0$

$\frac{2x^2 + 4x + 2}{x(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата суммы:

$(x+1)^2 = 0$

$x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Значение $x=-1$ входит в ОДЗ, так как $-1 \neq 0$ и $-1 \neq -2$. Следовательно, $x=-1$ также является корнем уравнения.

Объединяем полученные корни.

Ответ: $-1; 1$.

2) $x \cdot (1 + \frac{5}{x-2} + \frac{1}{(x+1)(x-2)}) = 0$

Это уравнение также является произведением, равным нулю. Решаем его аналогично первому.

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$x=0$

Значение $x=0$ входит в ОДЗ, так как $0 \neq -1$ и $0 \neq 2$. Следовательно, $x=0$ — корень уравнения.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$1 + \frac{5}{x-2} + \frac{1}{(x+1)(x-2)} = 0$

Приведем все члены к общему знаменателю $(x+1)(x-2)$:

$\frac{1(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-2)} + \frac{5(x+1)}{(x+1)(x-2)} + \frac{1}{(x+1)(x-2)} = 0$

$\frac{(x+1)(x-2) + 5(x+1) + 1}{(x+1)(x-2)} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:

$(x^2 - 2x + x - 2) + (5x + 5) + 1 = 0$

$x^2 - x - 2 + 5x + 5 + 1 = 0$

Приводим подобные слагаемые:

$x^2 + 4x + 4 = 0$

Сворачиваем по формуле квадрата суммы:

$(x+2)^2 = 0$

$x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Значение $x=-2$ входит в ОДЗ, так как $-2 \neq -1$ и $-2 \neq 2$. Следовательно, $x=-2$ является корнем уравнения.

Объединяем полученные корни.

Ответ: $-2; 0$.

10.16. Найдите все неотрицательные корни уравнения:

1) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-3} = x;$

2) $\frac{x^2}{2x-1} = \frac{6x}{x-5} + x.$

1) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-3} = x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:
$x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$
$x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$
ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем $x$ за скобки:
$\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-3} - x = 0$
$x \left( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-3} - 1 \right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) $x_1 = 0$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Так как по условию нужно найти неотрицательные корни ($x \ge 0$), $x_1=0$ является одним из решений.

б) $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-3} - 1 = 0$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x-3)$:
$\frac{x-3}{(x+1)(x-3)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-3)} - \frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)} = 0$
$\frac{(x-3) + (x+1) - (x^2 - 2x - 3)}{x^2 - 2x - 3} = 0$
$\frac{2x - 2 - x^2 + 2x + 3}{x^2 - 2x - 3} = 0$
$\frac{-x^2 + 4x + 1}{x^2 - 2x - 3} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).
$-x^2 + 4x + 1 = 0$
$x^2 - 4x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$
$\sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
Получаем еще два корня: $x_2 = 2 + \sqrt{5}$ и $x_3 = 2 - \sqrt{5}$.

Все три найденных корня ($0$, $2 + \sqrt{5}$, $2 - \sqrt{5}$) удовлетворяют ОДЗ.

Теперь выберем из них только неотрицательные.
$x_1 = 0$ — неотрицательный.
$x_2 = 2 + \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > 0$, то $2 + \sqrt{5} > 0$, корень неотрицательный.
$x_3 = 2 - \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $2 - \sqrt{5} < 0$, корень отрицательный и не подходит по условию.

Таким образом, неотрицательными корнями уравнения являются $0$ и $2 + \sqrt{5}$.
Ответ: $0; 2 + \sqrt{5}$.

2) $\frac{x^2}{2x-1} = \frac{6x}{x-5} + x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:
$2x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{2}$
$x - 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5$
ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 5) \cup (5; +\infty)$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем $x$ за скобки:
$\frac{x^2}{2x-1} - \frac{6x}{x-5} - x = 0$
$x \left( \frac{x}{2x-1} - \frac{6}{x-5} - 1 \right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) $x_1 = 0$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Так как $0 \ge 0$, это один из искомых неотрицательных корней.

б) $\frac{x}{2x-1} - \frac{6}{x-5} - 1 = 0$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(2x-1)(x-5)$:
$\frac{x(x-5) - 6(2x-1) - (2x-1)(x-5)}{(2x-1)(x-5)} = 0$

Приравниваем числитель к нулю (так как знаменатель не равен нулю по ОДЗ):
$x(x-5) - 6(2x-1) - (2x-1)(x-5) = 0$
$x^2 - 5x - (12x - 6) - (2x^2 - 10x - x + 5) = 0$
$x^2 - 5x - 12x + 6 - (2x^2 - 11x + 5) = 0$
$x^2 - 17x + 6 - 2x^2 + 11x - 5 = 0$
$-x^2 - 6x + 1 = 0$
$x^2 + 6x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40$
$\sqrt{D} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10}$
Получаем еще два корня: $x_2 = -3 + \sqrt{10}$ и $x_3 = -3 - \sqrt{10}$.

Все три корня ($0$, $-3 + \sqrt{10}$, $-3 - \sqrt{10}$) удовлетворяют ОДЗ.

Теперь из них выберем неотрицательные.
$x_1 = 0$ — неотрицательный.
$x_2 = -3 + \sqrt{10}$. Так как $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, то $-3 + \sqrt{10} > 0$, корень неотрицательный.
$x_3 = -3 - \sqrt{10}$. Этот корень очевидно отрицательный и не подходит по условию.

Таким образом, неотрицательными корнями уравнения являются $0$ и $-3 + \sqrt{10}$.
Ответ: $0; -3 + \sqrt{10}$.

10.17. Найдите все неотрицательные корни уравнения:

1) $ \frac{5x^2 + 1}{2} = \frac{1 + 7x}{4} + \frac{1 + 8x}{9} $;

2) $ \frac{3x^2 + 1}{2} = \frac{1 + 5x}{6} + \frac{1 + 7x}{8} $.

1)

Дано уравнение: $ \frac{5x^2 + 1}{2} = \frac{1 + 7x}{4} + \frac{1 + 8x}{9} $.

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 4 и 9. НОК(2, 4, 9) = 36.

$ 36 \cdot \frac{5x^2 + 1}{2} = 36 \cdot \left( \frac{1 + 7x}{4} + \frac{1 + 8x}{9} \right) $

$ 18(5x^2 + 1) = 9(1 + 7x) + 4(1 + 8x) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 90x^2 + 18 = 9 + 63x + 4 + 32x $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 90x^2 + 18 = 13 + 95x $

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$ 90x^2 - 95x + 18 - 13 = 0 $

$ 90x^2 - 95x + 5 = 0 $

Для упрощения разделим все члены уравнения на 5:

$ 18x^2 - 19x + 1 = 0 $

Теперь решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-19)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 1 = 361 - 72 = 289 $

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_{1,2} = \frac{-(-19) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 18} = \frac{19 \pm 17}{36} $

Вычисляем каждый корень:

$ x_1 = \frac{19 + 17}{36} = \frac{36}{36} = 1 $

$ x_2 = \frac{19 - 17}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} $

По условию задачи требуется найти все неотрицательные корни. Оба корня $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{1}{18}$ являются положительными, следовательно, они удовлетворяют условию.

Ответ: $1; \frac{1}{18}$.

2)

Дано уравнение: $ \frac{3x^2 + 1}{2} = \frac{1 + 5x}{6} + \frac{1 + 7x}{8} $.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 2, 6 и 8. НОК(2, 6, 8) = 24. Умножим обе части уравнения на 24:

$ 24 \cdot \frac{3x^2 + 1}{2} = 24 \cdot \left( \frac{1 + 5x}{6} + \frac{1 + 7x}{8} \right) $

$ 12(3x^2 + 1) = 4(1 + 5x) + 3(1 + 7x) $

Раскроем скобки:

$ 36x^2 + 12 = 4 + 20x + 3 + 21x $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 36x^2 + 12 = 7 + 41x $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 36x^2 - 41x + 12 - 7 = 0 $

$ 36x^2 - 41x + 5 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-41)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 5 = 1681 - 720 = 961 $

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_{1,2} = \frac{-(-41) \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 36} = \frac{41 \pm 31}{72} $

Вычисляем каждый корень:

$ x_1 = \frac{41 + 31}{72} = \frac{72}{72} = 1 $

$ x_2 = \frac{41 - 31}{72} = \frac{10}{72} = \frac{5}{36} $

Оба корня $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{5}{36}$ являются положительными, то есть неотрицательными.

Ответ: $1; \frac{5}{36}$.

10.18. Найдите положительные корни уравнения:

1) $ \frac{2}{x - 5} + \frac{11}{x + 4} = 1; $

2) $ \frac{5}{x + 3} + \frac{1}{x - 4} = 3. $

1) $\frac{2}{x - 5} + \frac{11}{x + 4} = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю, поэтому $x - 5 \neq 0$ и $x + 4 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 5$ и $x \neq -4$.

Далее, приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x - 5)(x + 4)$:

$\frac{2(x + 4)}{(x - 5)(x + 4)} + \frac{11(x - 5)}{(x - 5)(x + 4)} = 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 5)(x + 4)$, чтобы избавиться от дробей. Это преобразование равносильно, так как мы учли ОДЗ.

$2(x + 4) + 11(x - 5) = (x - 5)(x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2x + 8 + 11x - 55 = x^2 + 4x - 5x - 20$

Приведем подобные слагаемые:

$13x - 47 = x^2 - x - 20$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = x^2 - x - 13x - 20 + 47$

$x^2 - 14x + 27 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 196 - 108 = 88$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{88}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{4 \cdot 22}}{2} = \frac{14 \pm 2\sqrt{22}}{2} = 7 \pm \sqrt{22}$

Итак, мы получили два корня: $x_1 = 7 + \sqrt{22}$ и $x_2 = 7 - \sqrt{22}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

По условию задачи нам нужно найти положительные корни. Проверим знак каждого корня:

Корень $x_1 = 7 + \sqrt{22}$ является суммой двух положительных чисел, следовательно, он положителен.

Для корня $x_2 = 7 - \sqrt{22}$ сравним числа 7 и $\sqrt{22}$. Возведем оба в квадрат: $7^2 = 49$ и $(\sqrt{22})^2 = 22$. Так как $49 > 22$, то $7 > \sqrt{22}$, а значит разность $7 - \sqrt{22}$ положительна.

Следовательно, оба корня уравнения являются положительными.

Ответ: $7 - \sqrt{22}$; $7 + \sqrt{22}$.

2) $\frac{5}{x + 3} + \frac{1}{x - 4} = 3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x + 3 \neq 0$ и $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq -3$ и $x \neq 4$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 3)(x - 4)$:

$\frac{5(x - 4)}{(x + 3)(x - 4)} + \frac{1(x + 3)}{(x + 3)(x - 4)} = 3$

Умножим обе части на $(x + 3)(x - 4)$, учитывая ОДЗ:

$5(x - 4) + (x + 3) = 3(x + 3)(x - 4)$

Раскроем скобки:

$5x - 20 + x + 3 = 3(x^2 - 4x + 3x - 12)$

Приведем подобные слагаемые:

$6x - 17 = 3(x^2 - x - 12)$

$6x - 17 = 3x^2 - 3x - 36$

Соберем все слагаемые в одной части уравнения:

$0 = 3x^2 - 3x - 6x - 36 + 17$

$3x^2 - 9x - 19 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-19) = 81 + 228 = 309$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{309}}{2 \cdot 3} = \frac{9 \pm \sqrt{309}}{6}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{309}}{6}$ и $x_2 = \frac{9 - \sqrt{309}}{6}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Теперь найдем положительные корни.

Корень $x_1 = \frac{9 + \sqrt{309}}{6}$ положителен, так как числитель и знаменатель являются положительными числами.

Для корня $x_2 = \frac{9 - \sqrt{309}}{6}$ нужно определить знак числителя. Сравним 9 и $\sqrt{309}$. Возведем в квадрат: $9^2 = 81$ и $(\sqrt{309})^2 = 309$. Так как $81 < 309$, то $9 < \sqrt{309}$. Следовательно, разность $9 - \sqrt{309}$ отрицательна, а значит и сам корень $x_2$ отрицателен.

Таким образом, только один корень уравнения является положительным.

Ответ: $\frac{9 + \sqrt{309}}{6}$.

10.19. Найдите корни квадратного уравнения:

1) $\frac{7}{x+5} + \frac{10}{3x+4} = 2;$

2) $\frac{4}{x+3} + \frac{5}{2x+3} = 2;$

3) $\frac{5}{x+2} + \frac{7}{2x+1} = 2.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{7}{x + 5} + \frac{10}{3x + 4} = 2 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых уравнение имеет смысл. Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

$3x + 4 \neq 0 \implies 3x \neq -4 \implies x \neq -\frac{4}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 5)(3x + 4)$:

$7(3x + 4) + 10(x + 5) = 2(x + 5)(3x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$21x + 28 + 10x + 50 = 2(3x^2 + 4x + 15x + 20)$

Приведем подобные слагаемые:

$31x + 78 = 2(3x^2 + 19x + 20)$

$31x + 78 = 6x^2 + 38x + 40$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$6x^2 + 38x - 31x + 40 - 78 = 0$

$6x^2 + 7x - 38 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a = 6$, $b = 7$, $c = -38$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-38) = 49 + 24 \cdot 38 = 49 + 912 = 961$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

$x_1 = \frac{-7 + 31}{2 \cdot 6} = \frac{24}{12} = 2$.

$x_2 = \frac{-7 - 31}{2 \cdot 6} = \frac{-38}{12} = -\frac{19}{6}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Оба корня $2$ и $-\frac{19}{6}$ не равны $-5$ и $-\frac{4}{3}$, следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $2; -\frac{19}{6}$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{4}{x + 3} + \frac{5}{2x + 3} = 2 $.

Область допустимых значений (ОДЗ):

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

$2x + 3 \neq 0 \implies 2x \neq -3 \implies x \neq -\frac{3}{2}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 3)(2x + 3)$:

$4(2x + 3) + 5(x + 3) = 2(x + 3)(2x + 3)$

Раскроем скобки и упростим:

$8x + 12 + 5x + 15 = 2(2x^2 + 3x + 6x + 9)$

$13x + 27 = 2(2x^2 + 9x + 9)$

$13x + 27 = 4x^2 + 18x + 18$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 + 18x - 13x + 18 - 27 = 0$

$4x^2 + 5x - 9 = 0$

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

Коэффициенты: $a = 4$, $b = 5$, $c = -9$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169$.

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

$x_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.

$x_2 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4}$.

Оба корня $1$ и $-\frac{9}{4}$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$ и $x \neq -\frac{3}{2}$).

Ответ: $1; -\frac{9}{4}$.

3) Исходное уравнение: $ \frac{5}{x + 2} + \frac{7}{2x + 1} = 2 $.

Область допустимых значений (ОДЗ):

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$2x + 1 \neq 0 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 2)(2x + 1)$:

$5(2x + 1) + 7(x + 2) = 2(x + 2)(2x + 1)$

Раскроем скобки:

$10x + 5 + 7x + 14 = 2(2x^2 + x + 4x + 2)$

Упростим выражение:

$17x + 19 = 2(2x^2 + 5x + 2)$

$17x + 19 = 4x^2 + 10x + 4$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 + 10x - 17x + 4 - 19 = 0$

$4x^2 - 7x - 15 = 0$

Решим уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -7$, $c = -15$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 49 + 16 \cdot 15 = 49 + 240 = 289$.

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

$x_1 = \frac{-(-7) + 17}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 17}{8} = \frac{24}{8} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-7) - 17}{2 \cdot 4} = \frac{7 - 17}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$.

Оба корня $3$ и $-\frac{5}{4}$ принадлежат ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq -\frac{1}{2}$).

Ответ: $3; -\frac{5}{4}$.