Страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.20. Решите уравнение и выполните проверку:

1) $\frac{3x + 13}{x + 1} - 4 = \frac{x + 11}{x^2 - 1}$;

2) $\frac{2x + 1}{x - 2} + 4 = \frac{3x - 1}{3 - x}$;

3) $\frac{6x - 2}{x + 1} - 1 = \frac{3x - 2}{2x - 1}$.

1) $ \frac{3x + 13}{x + 1} - 4 = \frac{x + 11}{x^2 - 1} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x^2 - 1 \neq 0 \implies (x - 1)(x + 1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$:

$ \frac{(3x + 13)(x - 1)}{x^2 - 1} - \frac{4(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x + 11}{x^2 - 1} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x^2 - 1)$, поскольку мы уже учли, что он не равен нулю:

$(3x + 13)(x - 1) - 4(x^2 - 1) = x + 11$

Раскроем скобки:

$3x^2 - 3x + 13x - 13 - 4x^2 + 4 = x + 11$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x^2 + 10x - 9 = x + 11$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = x^2 - 10x + x + 9 + 11$

$x^2 - 9x + 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 9$

$x_1 \cdot x_2 = 20$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \neq \pm 1$ и $5 \neq \pm 1$).

Выполним проверку:

При $x = 4$:

Левая часть: $ \frac{3 \cdot 4 + 13}{4 + 1} - 4 = \frac{12 + 13}{5} - 4 = \frac{25}{5} - 4 = 5 - 4 = 1 $.

Правая часть: $ \frac{4 + 11}{4^2 - 1} = \frac{15}{16 - 1} = \frac{15}{15} = 1 $.

$1 = 1$. Корень $x=4$ найден верно.

При $x = 5$:

Левая часть: $ \frac{3 \cdot 5 + 13}{5 + 1} - 4 = \frac{15 + 13}{6} - 4 = \frac{28}{6} - 4 = \frac{14}{3} - \frac{12}{3} = \frac{2}{3} $.

Правая часть: $ \frac{5 + 11}{5^2 - 1} = \frac{16}{25 - 1} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} $.

$\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$. Корень $x=5$ найден верно.

Ответ: $4; 5$.

2) $ \frac{2x + 1}{x - 2} + 4 = \frac{3x - 1}{3 - x} $

ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$ и $3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$.

Преобразуем знаменатель в правой части: $3 - x = -(x - 3)$.

$ \frac{2x + 1}{x - 2} + 4 = -\frac{3x - 1}{x - 3} $

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{2x + 1}{x - 2} + 4 + \frac{3x - 1}{x - 3} = 0 $

Общий знаменатель $(x - 2)(x - 3)$. Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(2x + 1)(x - 3) + 4(x - 2)(x - 3) + (3x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} = 0 $

Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$(2x + 1)(x - 3) + 4(x - 2)(x - 3) + (3x - 1)(x - 2) = 0$

$(2x^2 - 6x + x - 3) + 4(x^2 - 5x + 6) + (3x^2 - 6x - x + 2) = 0$

$2x^2 - 5x - 3 + 4x^2 - 20x + 24 + 3x^2 - 7x + 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$9x^2 - 32x + 23 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 23 = 1024 - 828 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 + 14}{2 \cdot 9} = \frac{46}{18} = \frac{23}{9}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 - 14}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($23/9 \neq 2, 23/9 \neq 3$ и $1 \neq 2, 1 \neq 3$).

Выполним проверку:

При $x = 1$:

Левая часть: $ \frac{2 \cdot 1 + 1}{1 - 2} + 4 = \frac{3}{-1} + 4 = -3 + 4 = 1 $.

Правая часть: $ \frac{3 \cdot 1 - 1}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1 $.

$1 = 1$. Корень $x=1$ найден верно.

При $x = 23/9$:

Левая часть: $ \frac{2 \cdot \frac{23}{9} + 1}{\frac{23}{9} - 2} + 4 = \frac{\frac{46}{9} + \frac{9}{9}}{\frac{23}{9} - \frac{18}{9}} + 4 = \frac{\frac{55}{9}}{\frac{5}{9}} + 4 = \frac{55}{5} + 4 = 11 + 4 = 15 $.

Правая часть: $ \frac{3 \cdot \frac{23}{9} - 1}{3 - \frac{23}{9}} = \frac{\frac{23}{3} - \frac{3}{3}}{\frac{27}{9} - \frac{23}{9}} = \frac{\frac{20}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{20}{3} \cdot \frac{9}{4} = 5 \cdot 3 = 15 $.

$15 = 15$. Корень $x=23/9$ найден верно.

Ответ: $1; \frac{23}{9}$.

3) $ \frac{6x - 2}{x + 1} - 1 = \frac{3x - 2}{2x - 1} $

ОДЗ: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ и $2x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x+1)$:

$ \frac{6x - 2 - (x + 1)}{x + 1} = \frac{3x - 2}{2x - 1} $

$ \frac{6x - 2 - x - 1}{x + 1} = \frac{3x - 2}{2x - 1} $

$ \frac{5x - 3}{x + 1} = \frac{3x - 2}{2x - 1} $

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(5x - 3)(2x - 1) = (3x - 2)(x + 1)$

Раскроем скобки:

$10x^2 - 5x - 6x + 3 = 3x^2 + 3x - 2x - 2$

$10x^2 - 11x + 3 = 3x^2 + x - 2$

Перенесем все в левую часть:

$10x^2 - 3x^2 - 11x - x + 3 + 2 = 0$

$7x^2 - 12x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 144 - 140 = 4 = 2^2$

$x_1 = \frac{12 + 2}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$

$x_2 = \frac{12 - 2}{2 \cdot 7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($1 \neq -1, 1 \neq 1/2$ и $5/7 \neq -1, 5/7 \neq 1/2$).

Выполним проверку:

При $x = 1$:

Левая часть: $ \frac{6 \cdot 1 - 2}{1 + 1} - 1 = \frac{4}{2} - 1 = 2 - 1 = 1 $.

Правая часть: $ \frac{3 \cdot 1 - 2}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{1}{1} = 1 $.

$1 = 1$. Корень $x=1$ найден верно.

При $x = 5/7$:

Левая часть: $ \frac{6 \cdot \frac{5}{7} - 2}{\frac{5}{7} + 1} - 1 = \frac{\frac{30}{7} - \frac{14}{7}}{\frac{5}{7} + \frac{7}{7}} - 1 = \frac{\frac{16}{7}}{\frac{12}{7}} - 1 = \frac{16}{12} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} $.

Правая часть: $ \frac{3 \cdot \frac{5}{7} - 2}{2 \cdot \frac{5}{7} - 1} = \frac{\frac{15}{7} - \frac{14}{7}}{\frac{10}{7} - \frac{7}{7}} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{3}{7}} = \frac{1}{3} $.

$\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Корень $x=5/7$ найден верно.

Ответ: $1; \frac{5}{7}$.

10.21. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1) $y = \frac{1}{x}$ и $y = 1,25 - x$;

2) $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$ и $y = 3x - 11$;

3) $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ и $y = x - 1$.

1) Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = 1,25 - x$, необходимо приравнять правые части уравнений. Это даст нам абсциссы точек пересечения.

$\frac{1}{x} = 1,25 - x$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$. Переведем десятичную дробь $1,25$ в обыкновенную для удобства вычислений: $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.

$\frac{1}{x} = \frac{5}{4} - x$

Умножим обе части уравнения на $4x$ (что допустимо, так как $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:

$4x \cdot \frac{1}{x} = 4x \cdot (\frac{5}{4} - x)$

$4 = 5x - 4x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$4x^2 - 5x + 4 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 25 - 64 = -39$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики заданных функций не пересекаются.

Ответ: точек пересечения нет.

2) Найдем координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$ и $y = 3x - 11$. Приравняем правые части:

$\frac{2x - 3}{x + 1} = 3x - 11$

ОДЗ: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Умножим обе части на $(x+1)$:

$2x - 3 = (3x - 11)(x + 1)$

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные слагаемые:

$2x - 3 = 3x^2 + 3x - 11x - 11$

$2x - 3 = 3x^2 - 8x - 11$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 8x - 2x - 11 + 3 = 0$

$3x^2 - 10x - 8 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$). Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в уравнение прямой $y = 3x - 11$.

Для $x_1 = 4$: $y_1 = 3(4) - 11 = 12 - 11 = 1$.

Для $x_2 = -\frac{2}{3}$: $y_2 = 3(-\frac{2}{3}) - 11 = -2 - 11 = -13$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(4, 1), (-\frac{2}{3}, -13)$.

3) Найдем координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ и $y = x - 1$. Приравняем правые части:

$\frac{x - 3}{x + 1} = x - 1$

ОДЗ: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Умножим обе части на $(x+1)$:

$x - 3 = (x - 1)(x + 1)$

Правая часть является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$x - 3 = x^2 - 1^2$

$x - 3 = x^2 - 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - x - 1 + 3 = 0$

$x^2 - x + 2 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, графики данных функций не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет.

10.22. При каких значениях a равны значения дробей:

1) $\frac{5a-3}{a+1}$ и $\frac{a}{a-2}$;

2) $\frac{2a-1}{a-1}$ и $\frac{a+4}{a+1}$;

3) $\frac{2a+1}{a-2}$ и $\frac{3a-1}{3-a}$?

Чтобы найти значения a, при которых значения дробей равны, нужно приравнять дроби и решить полученное уравнение. Для каждой пары дробей необходимо также учесть область допустимых значений (ОДЗ), то есть значения a, при которых знаменатели дробей не равны нулю.

1) Приравняем дроби $\frac{5a-3}{a+1}$ и $\frac{a}{a-2}$.

$\frac{5a-3}{a+1} = \frac{a}{a-2}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $a+1 \neq 0$ и $a-2 \neq 0$. Следовательно, $a \neq -1$ и $a \neq 2$.

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$(5a-3)(a-2) = a(a+1)$
Раскроем скобки:
$5a^2 - 10a - 3a + 6 = a^2 + a$
$5a^2 - 13a + 6 = a^2 + a$
Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:
$5a^2 - a^2 - 13a - a + 6 = 0$
$4a^2 - 14a + 6 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$2a^2 - 7a + 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
Найдем корни уравнения:
$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$
$a_1 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$a_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
Оба корня ($3$ и $0.5$) удовлетворяют ОДЗ ($a \neq -1$ и $a \neq 2$).
Ответ: $a=0.5, a=3$.

2) Приравняем дроби $\frac{2a-1}{a-1}$ и $\frac{a+4}{a+1}$.

$\frac{2a-1}{a-1} = \frac{a+4}{a+1}$

ОДЗ: $a-1 \neq 0$ и $a+1 \neq 0$. Следовательно, $a \neq 1$ и $a \neq -1$.

Используем перекрестное умножение:
$(2a-1)(a+1) = (a+4)(a-1)$
Раскроем скобки:
$2a^2 + 2a - a - 1 = a^2 - a + 4a - 4$
$2a^2 + a - 1 = a^2 + 3a - 4$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$2a^2 - a^2 + a - 3a - 1 + 4 = 0$
$a^2 - 2a + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: таких значений a не существует.

3) Приравняем дроби $\frac{2a+1}{a-2}$ и $\frac{3a-1}{3-a}$.

$\frac{2a+1}{a-2} = \frac{3a-1}{3-a}$

ОДЗ: $a-2 \neq 0$ и $3-a \neq 0$. Следовательно, $a \neq 2$ и $a \neq 3$.

Используем перекрестное умножение:
$(2a+1)(3-a) = (3a-1)(a-2)$
Раскроем скобки:
$6a - 2a^2 + 3 - a = 3a^2 - 6a - a + 2$
$-2a^2 + 5a + 3 = 3a^2 - 7a + 2$
Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы коэффициент при $a^2$ был положительным:
$0 = 3a^2 + 2a^2 - 7a - 5a + 2 - 3$
$5a^2 - 12a - 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 144 + 20 = 164$
Найдем корни уравнения:
$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{164}}{2 \cdot 5} = \frac{12 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{10} = \frac{12 \pm 2\sqrt{41}}{10} = \frac{2(6 \pm \sqrt{41})}{10} = \frac{6 \pm \sqrt{41}}{5}$
Получаем два корня:
$a_1 = \frac{6 + \sqrt{41}}{5}$
$a_2 = \frac{6 - \sqrt{41}}{5}$
Оба корня не равны $2$ или $3$, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $a = \frac{6 \pm \sqrt{41}}{5}$.

10.23. Докажите, что графики функций $y = \frac{5x + 1}{x - 3}$ и $y = 5$ не пересекаются.

Для того чтобы доказать, что графики функций не пересекаются, необходимо показать, что не существует таких значений $x$, при которых значения $y$ для обеих функций совпадают. Для этого приравняем правые части уравнений данных функций:

$y = \frac{5x + 1}{x - 3}$ и $y = 5$

$\frac{5x + 1}{x - 3} = 5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x - 3 \neq 0$
$x \neq 3$

При условии $x \neq 3$, мы можем умножить обе части уравнения на $(x - 3)$, чтобы избавиться от дроби:

$5x + 1 = 5(x - 3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5x + 1 = 5x - 15$

Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые — в правую:

$5x - 5x = -15 - 1$

Выполним вычисления:

$0 \cdot x = -16$

В результате мы получили уравнение $0 = -16$, которое является неверным числовым равенством. Это означает, что уравнение не имеет решений ни при каком значении $x$.

Поскольку не существует такого значения $x$, при котором значения функций были бы равны, то графики данных функций не имеют общих точек, а следовательно, не пересекаются. Что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение, полученное приравниванием выражений для функций, не имеет решений ($0 = -16$), следовательно, графики функций не пересекаются.

Найдите корни уравнений (10.24—10.29):

10.24. 1)

$\frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{2-2x} = \frac{3x^2 - 38}{x^2 - 1}$

2)

$\frac{x+0,5}{9x+3} + \frac{8x^2+3}{9x^2-1} = \frac{x+2}{3x-1}$

3)

$\frac{x+3}{4x^2-9} - \frac{3-x}{4x^2+12x+9} = \frac{2}{2x-3}$

4)

$\frac{1-2x}{6x^2+3x} + \frac{2x+1}{14x^2-7x} = \frac{8}{12x^2-3}$

1) Исходное уравнение: $ \frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{2-2x} = \frac{3x^2 - 38}{x^2 - 1} $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:
$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$
$2-2x \neq 0 \implies 2x \neq 2 \implies x \neq 1$
$x^2-1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.
ОДЗ: $x \neq \pm 1$.
Преобразуем уравнение. Разложим знаменатели на множители и изменим знак во второй дроби:
$ \frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{-2(x-1)} = \frac{3x^2 - 38}{(x-1)(x+1)} $
$ \frac{7}{x+1} + \frac{x+4}{2(x-1)} = \frac{3x^2 - 38}{(x-1)(x+1)} $
Общий знаменатель: $2(x-1)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$ 7 \cdot 2(x-1) + (x+4)(x+1) = 2(3x^2 - 38) $
Раскроем скобки и упростим:
$ 14(x-1) + (x^2 + x + 4x + 4) = 6x^2 - 76 $
$ 14x - 14 + x^2 + 5x + 4 = 6x^2 - 76 $
$ x^2 + 19x - 10 = 6x^2 - 76 $
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$ 6x^2 - x^2 - 19x - 76 + 10 = 0 $
$ 5x^2 - 19x - 66 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-66) = 361 + 1320 = 1681 = 41^2 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 41}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 41}{2 \cdot 5} = \frac{-22}{10} = -2,2 $
Оба корня ($6$ и $-2,2$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $6; -2,2$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{x + 0,5}{9x + 3} + \frac{8x^2 + 3}{9x^2 - 1} = \frac{x + 2}{3x - 1} $.
ОДЗ:
$9x + 3 \neq 0 \implies 3(3x+1) \neq 0 \implies x \neq -1/3$
$9x^2 - 1 \neq 0 \implies (3x-1)(3x+1) \neq 0 \implies x \neq \pm 1/3$
$3x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1/3$
ОДЗ: $x \neq \pm 1/3$.
Разложим знаменатели на множители:
$ \frac{x + 0,5}{3(3x + 1)} + \frac{8x^2 + 3}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{x + 2}{3x - 1} $
Общий знаменатель: $3(3x-1)(3x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$ (x + 0,5)(3x - 1) + 3(8x^2 + 3) = 3(x + 2)(3x + 1) $
Раскроем скобки:
$ (3x^2 - x + 1,5x - 0,5) + (24x^2 + 9) = 3(3x^2 + x + 6x + 2) $
$ 3x^2 + 0,5x - 0,5 + 24x^2 + 9 = 9x^2 + 21x + 6 $
$ 27x^2 + 0,5x + 8,5 = 9x^2 + 21x + 6 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 18x^2 - 20,5x + 2,5 = 0 $
Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$ 36x^2 - 41x + 5 = 0 $
Решим квадратное уравнение:
$ D = (-41)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 5 = 1681 - 720 = 961 = 31^2 $
$ x_1 = \frac{41 + 31}{2 \cdot 36} = \frac{72}{72} = 1 $
$ x_2 = \frac{41 - 31}{2 \cdot 36} = \frac{10}{72} = \frac{5}{36} $
Оба корня ($1$ и $5/36$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $1; \frac{5}{36}$.

3) Исходное уравнение: $ \frac{x + 3}{4x^2 - 9} - \frac{3 - x}{4x^2 + 12x + 9} = \frac{2}{2x - 3} $.
ОДЗ:
$4x^2 - 9 \neq 0 \implies (2x-3)(2x+3) \neq 0 \implies x \neq \pm 3/2$
$4x^2 + 12x + 9 \neq 0 \implies (2x+3)^2 \neq 0 \implies x \neq -3/2$
$2x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3/2$
ОДЗ: $x \neq \pm 3/2$.
Преобразуем уравнение, используя формулы сокращенного умножения и изменив знак во второй дроби:
$ \frac{x + 3}{(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{-(x - 3)}{(2x + 3)^2} = \frac{2}{2x - 3} $
$ \frac{x + 3}{(2x - 3)(2x + 3)} + \frac{x - 3}{(2x + 3)^2} = \frac{2}{2x - 3} $
Общий знаменатель: $(2x-3)(2x+3)^2$. Умножим обе части на него:
$ (x + 3)(2x + 3) + (x - 3)(2x - 3) = 2(2x + 3)^2 $
Раскроем скобки:
$ (2x^2 + 6x + 3x + 9) + (2x^2 - 6x - 3x + 9) = 2(4x^2 + 12x + 9) $
$ (2x^2 + 9x + 9) + (2x^2 - 9x + 9) = 8x^2 + 24x + 18 $
$ 4x^2 + 18 = 8x^2 + 24x + 18 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 4x^2 + 24x = 0 $
$ 4x(x + 6) = 0 $
Отсюда получаем два корня:
$ 4x = 0 \implies x_1 = 0 $
$ x + 6 = 0 \implies x_2 = -6 $
Оба корня ($0$ и $-6$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-6; 0$.

4) Исходное уравнение: $ \frac{1 - 2x}{6x^2 + 3x} + \frac{2x + 1}{14x^2 - 7x} = \frac{8}{12x^2 - 3} $.
ОДЗ:
$6x^2 + 3x = 3x(2x+1) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -1/2$
$14x^2 - 7x = 7x(2x-1) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 1/2$
$12x^2 - 3 = 3(4x^2-1) = 3(2x-1)(2x+1) \neq 0 \implies x \neq \pm 1/2$
ОДЗ: $x \neq 0, x \neq \pm 1/2$.
Разложим знаменатели на множители и преобразуем числитель первой дроби:
$ \frac{-(2x - 1)}{3x(2x + 1)} + \frac{2x + 1}{7x(2x - 1)} = \frac{8}{3(2x - 1)(2x + 1)} $
Общий знаменатель: $21x(2x-1)(2x+1)$. Умножим обе части на него:
$ -(2x - 1) \cdot 7(2x - 1) + (2x + 1) \cdot 3(2x + 1) = 8 \cdot 7x $
Раскроем скобки:
$ -7(2x - 1)^2 + 3(2x + 1)^2 = 56x $
$ -7(4x^2 - 4x + 1) + 3(4x^2 + 4x + 1) = 56x $
$ -28x^2 + 28x - 7 + 12x^2 + 12x + 3 = 56x $
$ -16x^2 + 40x - 4 = 56x $
Перенесем все в правую часть:
$ 0 = 16x^2 + 56x - 40x + 4 $
$ 16x^2 + 16x + 4 = 0 $
Разделим на 4:
$ 4x^2 + 4x + 1 = 0 $
Это полный квадрат:
$ (2x + 1)^2 = 0 $
$ 2x + 1 = 0 \implies x = -1/2 $
Проверим корень по ОДЗ. Мы определили, что $x \neq -1/2$. Следовательно, найденный корень является посторонним.
Ответ: корней нет.

10.25. 1) $ \frac{30}{y^2 - 1} + \frac{7 - 18y}{y^3 + 1} = \frac{13}{y^2 - y + 1}; $

2) $ \frac{1}{1 - x} - \frac{2}{x^3 + x + 1} = \frac{2x + 1}{1 - x^3}; $

3) $ \frac{17y - 10}{y^2 + y + 1} - \frac{25}{y - 1} = \frac{65}{y^3 - 1}; $

4) $ \frac{x^2 + x + 16}{x^2 - x + 1} - \frac{36 - x}{x^3 + 1} = \frac{x - 6}{x + 1}. $

1)

Исходное уравнение: $ \frac{30}{y^2 - 1} + \frac{7 - 18y}{y^3 + 1} = \frac{13}{y^2 - y + 1} $

Разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $:

$ y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1) $

$ y^3 + 1 = (y + 1)(y^2 - y + 1) $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{30}{(y - 1)(y + 1)} + \frac{7 - 18y}{(y + 1)(y^2 - y + 1)} = \frac{13}{y^2 - y + 1} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $ y \neq 1 $ и $ y \neq -1 $. (Выражение $ y^2 - y + 1 $ всегда положительно).

Общий знаменатель: $ (y - 1)(y + 1)(y^2 - y + 1) $. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

$ 30(y^2 - y + 1) + (7 - 18y)(y - 1) = 13(y - 1)(y + 1) $

Раскроем скобки:

$ 30y^2 - 30y + 30 + 7y - 7 - 18y^2 + 18y = 13(y^2 - 1) $

$ 30y^2 - 30y + 30 + 7y - 7 - 18y^2 + 18y = 13y^2 - 13 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (30 - 18)y^2 + (-30 + 7 + 18)y + (30 - 7) = 13y^2 - 13 $

$ 12y^2 - 5y + 23 = 13y^2 - 13 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ 0 = 13y^2 - 12y^2 + 5y - 13 - 23 $

$ y^2 + 5y - 36 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $ y_1 + y_2 = -5 $, а произведение $ y_1 \cdot y_2 = -36 $. Подбором находим корни:

$ y_1 = 4 $, $ y_2 = -9 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ y \neq 1, y \neq -1 $).

Ответ: -9; 4.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{1 - x} - \frac{2}{x^2 + x + 1} = \frac{2x + 1}{1 - x^3} $

Разложим знаменатель $ 1 - x^3 $ по формуле разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $:

$ 1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2) $

ОДЗ: $ 1 - x \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $. (Выражение $ x^2 + x + 1 $ всегда положительно).

Общий знаменатель: $ (1 - x)(1 + x + x^2) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ 1 \cdot (1 + x + x^2) - 2 \cdot (1 - x) = 2x + 1 $

Раскроем скобки:

$ 1 + x + x^2 - 2 + 2x = 2x + 1 $

Приведем подобные слагаемые:

$ x^2 + 3x - 1 = 2x + 1 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ x^2 + 3x - 2x - 1 - 1 = 0 $

$ x^2 + x - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = -1 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -2 $. Корни:

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = -2 $

Проверим корни по ОДЗ. Корень $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 1 $, поэтому является посторонним. Корень $ x_2 = -2 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{17y - 10}{y^2 + y + 1} - \frac{25}{y - 1} = \frac{65}{y^3 - 1} $

Разложим знаменатель $ y^3 - 1 $ по формуле разности кубов:

$ y^3 - 1 = (y - 1)(y^2 + y + 1) $

ОДЗ: $ y - 1 \neq 0 $, то есть $ y \neq 1 $. (Выражение $ y^2 + y + 1 $ всегда положительно).

Общий знаменатель: $ (y - 1)(y^2 + y + 1) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ (17y - 10)(y - 1) - 25(y^2 + y + 1) = 65 $

Раскроем скобки:

$ 17y^2 - 17y - 10y + 10 - 25y^2 - 25y - 25 = 65 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (17 - 25)y^2 + (-17 - 10 - 25)y + (10 - 25) = 65 $

$ -8y^2 - 52y - 15 = 65 $

Перенесем 65 в левую часть:

$ -8y^2 - 52y - 15 - 65 = 0 $

$ -8y^2 - 52y - 80 = 0 $

Разделим все уравнение на -4 для упрощения:

$ 2y^2 + 13y + 20 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20 = 169 - 160 = 9 = 3^2 $

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ y \neq 1 $).

Ответ: -4; -2,5.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2 + x + 16}{x^2 - x + 1} - \frac{36 - x}{x^3 + 1} = \frac{x - 6}{x + 1} $

Разложим знаменатель $ x^3 + 1 $ по формуле суммы кубов:

$ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) $

ОДЗ: $ x + 1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $. (Выражение $ x^2 - x + 1 $ всегда положительно).

Общий знаменатель: $ (x + 1)(x^2 - x + 1) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ (x^2 + x + 16)(x + 1) - (36 - x) = (x - 6)(x^2 - x + 1) $

Раскроем скобки в обеих частях:

Левая часть: $ x^3 + x^2 + 16x + x^2 + x + 16 - 36 + x = x^3 + 2x^2 + 18x - 20 $

Правая часть: $ x^3 - x^2 + x - 6x^2 + 6x - 6 = x^3 - 7x^2 + 7x - 6 $

Приравняем обе части:

$ x^3 + 2x^2 + 18x - 20 = x^3 - 7x^2 + 7x - 6 $

Сократим $ x^3 $ и перенесем все члены в левую часть:

$ 2x^2 + 18x - 20 + 7x^2 - 7x + 6 = 0 $

$ (2+7)x^2 + (18-7)x + (-20+6) = 0 $

$ 9x^2 + 11x - 14 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-14) = 121 + 504 = 625 = 25^2 $

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 25}{2 \cdot 9} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9} $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 25}{2 \cdot 9} = \frac{-36}{18} = -2 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq -1 $).

Ответ: -2; $ \frac{7}{9} $.

10.26.

1) $\frac{3x + 4}{x^2 - 2x} - \frac{1}{2 - x} = \frac{3x - 2}{x}$

2) $\frac{3}{x^2 - 2x + 4} - \frac{2}{x^3 + 8} = \frac{3}{2 + x}$

1) $\frac{3x+4}{x^2-2x} - \frac{1}{2-x} = \frac{3x-2}{x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

1. $x^2 - 2x = x(x-2) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

2. $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

3. $x \neq 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Преобразуем уравнение. Заметим, что $2 - x = -(x - 2)$. Тогда дробь $\frac{1}{2-x}$ можно записать как $-\frac{1}{x-2}$.

$\frac{3x+4}{x(x-2)} - (-\frac{1}{x-2}) = \frac{3x-2}{x}$

$\frac{3x+4}{x(x-2)} + \frac{1}{x-2} = \frac{3x-2}{x}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $x(x-2)$. Для этого умножим вторую дробь на $x$, а правую часть уравнения на $(x-2)$.

$\frac{3x+4}{x(x-2)} + \frac{x}{x(x-2)} = \frac{(3x-2)(x-2)}{x(x-2)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-2)$, который не равен нулю в силу ОДЗ, и перейдем к уравнению числителей:

$3x + 4 + x = (3x-2)(x-2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4x + 4 = 3x^2 - 6x - 2x + 4$

$4x + 4 = 3x^2 - 8x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 - 8x - 4x + 4 - 4 = 0$

$3x^2 - 12x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$3x=0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x-4=0 \Rightarrow x_2 = 4$

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=0$ знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

2) $\frac{3}{x^2-2x+4} - \frac{2}{x^3+8} = \frac{3}{2+x}$

Найдем ОДЗ. Разложим знаменатель $x^3+8$ на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4)$

Уравнение можно переписать в виде:

$\frac{3}{x^2-2x+4} - \frac{2}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{3}{x+2}$

Знаменатели не могут быть равны нулю:

1. $x^2-2x+4 \neq 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1>0$), то выражение $x^2-2x+4$ всегда положительно при любом $x$.

2. $(x+2)(x^2-2x+4) \neq 0$. Так как второй множитель всегда не равен нулю, то $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

3. $2+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Общий знаменатель для всех дробей — $(x+2)(x^2-2x+4)$. Умножим обе части уравнения на него:

$3(x+2) - 2 = 3(x^2-2x+4)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$3x + 6 - 2 = 3x^2 - 6x + 12$

$3x + 4 = 3x^2 - 6x + 12$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 3x^2 - 6x - 3x + 12 - 4$

$3x^2 - 9x + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 81 - 96 = -15$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

10.27. 1) $ \frac{13}{2x^2 + x - 21} + \frac{1}{2x + 7} = \frac{6}{x^2 - 9} $

2) $ \frac{4}{x^2 - 16} - \frac{1}{16 + 8x + x^2} = \frac{10}{x^3 - 4x^2 - 16x + 64} $

1) $ \frac{13}{2x^2 + x - 21} + \frac{1}{2x + 7} = \frac{6}{x^2 - 9} $

Первым шагом разложим знаменатели на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 + x - 21$.

Решаем уравнение $2x^2 + x - 21 = 0$ через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
Таким образом, $2x^2 + x - 21 = 2(x - 3)(x + \frac{7}{2}) = (x - 3)(2x + 7)$.

Знаменатель $x^2 - 9$ является разностью квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$ \frac{13}{(x - 3)(2x + 7)} + \frac{1}{2x + 7} = \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} $

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю:
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$2x + 7 \neq 0 \implies x \neq -\frac{7}{2}$
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Общий знаменатель дробей: $(x - 3)(2x + 7)(x + 3)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:
$13(x + 3) + 1(x - 3)(x + 3) = 6(2x + 7)$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$13x + 39 + x^2 - 9 = 12x + 42$
$x^2 + 13x + 30 = 12x + 42$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 13x - 12x + 30 - 42 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-12$. Этим условиям удовлетворяют числа $-4$ и $3$.
$x_1 = -4$, $x_2 = 3$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ. Корень $x = -4$ удовлетворяет всем условиям. Корень $x = 3$ не входит в ОДЗ, так как при $x=3$ знаменатели $2x^2 + x - 21$ и $x^2 - 9$ обращаются в ноль. Следовательно, $x = 3$ является посторонним корнем.

Ответ: -4.

2) $ \frac{4}{x^2 - 16} - \frac{1}{16 + 8x + x^2} = \frac{10}{x^3 - 4x^2 - 16x + 64} $

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель $x^2 - 16$ — это разность квадратов: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Знаменатель $16 + 8x + x^2$ — это полный квадрат суммы: $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$.

Знаменатель $x^3 - 4x^2 - 16x + 64$ разложим на множители методом группировки:
$x^3 - 4x^2 - 16x + 64 = x^2(x - 4) - 16(x - 4) = (x - 4)(x^2 - 16) = (x - 4)(x - 4)(x + 4) = (x - 4)^2(x + 4)$.

Уравнение принимает вид:
$ \frac{4}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{1}{(x + 4)^2} = \frac{10}{(x - 4)^2(x + 4)} $

ОДЗ: $x - 4 \neq 0$ и $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Наименьший общий знаменатель: $(x - 4)^2(x + 4)^2$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель:
$4 \cdot \frac{(x - 4)^2(x + 4)^2}{(x - 4)(x + 4)} - 1 \cdot \frac{(x - 4)^2(x + 4)^2}{(x + 4)^2} = 10 \cdot \frac{(x - 4)^2(x + 4)^2}{(x - 4)^2(x + 4)}$
$4(x - 4)(x + 4) - (x - 4)^2 = 10(x + 4)$

Раскроем скобки и упростим:
$4(x^2 - 16) - (x^2 - 8x + 16) = 10x + 40$
$4x^2 - 64 - x^2 + 8x - 16 = 10x + 40$
$3x^2 + 8x - 80 = 10x + 40$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$3x^2 + 8x - 10x - 80 - 40 = 0$
$3x^2 - 2x - 120 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-120) = 4 + 1440 = 1444 = 38^2$
$x_1 = \frac{-(-2) + 38}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 38}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$
$x_2 = \frac{-(-2) - 38}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 38}{6} = \frac{-36}{6} = -6$

Оба корня, $x_1 = \frac{20}{3}$ и $x_2 = -6$, принадлежат ОДЗ ($x \neq 4$ и $x \neq -4$).

Ответ: -6; $\frac{20}{3}$.