Номер 10.25, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.25. 1) $ \frac{30}{y^2 - 1} + \frac{7 - 18y}{y^3 + 1} = \frac{13}{y^2 - y + 1}; $

2) $ \frac{1}{1 - x} - \frac{2}{x^3 + x + 1} = \frac{2x + 1}{1 - x^3}; $

3) $ \frac{17y - 10}{y^2 + y + 1} - \frac{25}{y - 1} = \frac{65}{y^3 - 1}; $

4) $ \frac{x^2 + x + 16}{x^2 - x + 1} - \frac{36 - x}{x^3 + 1} = \frac{x - 6}{x + 1}. $

1)

Исходное уравнение: $ \frac{30}{y^2 - 1} + \frac{7 - 18y}{y^3 + 1} = \frac{13}{y^2 - y + 1} $

Разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $:

$ y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1) $

$ y^3 + 1 = (y + 1)(y^2 - y + 1) $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{30}{(y - 1)(y + 1)} + \frac{7 - 18y}{(y + 1)(y^2 - y + 1)} = \frac{13}{y^2 - y + 1} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $ y \neq 1 $ и $ y \neq -1 $. (Выражение $ y^2 - y + 1 $ всегда положительно).

Общий знаменатель: $ (y - 1)(y + 1)(y^2 - y + 1) $. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

$ 30(y^2 - y + 1) + (7 - 18y)(y - 1) = 13(y - 1)(y + 1) $

Раскроем скобки:

$ 30y^2 - 30y + 30 + 7y - 7 - 18y^2 + 18y = 13(y^2 - 1) $

$ 30y^2 - 30y + 30 + 7y - 7 - 18y^2 + 18y = 13y^2 - 13 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (30 - 18)y^2 + (-30 + 7 + 18)y + (30 - 7) = 13y^2 - 13 $

$ 12y^2 - 5y + 23 = 13y^2 - 13 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ 0 = 13y^2 - 12y^2 + 5y - 13 - 23 $

$ y^2 + 5y - 36 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $ y_1 + y_2 = -5 $, а произведение $ y_1 \cdot y_2 = -36 $. Подбором находим корни:

$ y_1 = 4 $, $ y_2 = -9 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ y \neq 1, y \neq -1 $).

Ответ: -9; 4.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{1 - x} - \frac{2}{x^2 + x + 1} = \frac{2x + 1}{1 - x^3} $

Разложим знаменатель $ 1 - x^3 $ по формуле разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $:

$ 1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2) $

ОДЗ: $ 1 - x \neq 0 $, то есть $ x \neq 1 $. (Выражение $ x^2 + x + 1 $ всегда положительно).

Общий знаменатель: $ (1 - x)(1 + x + x^2) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ 1 \cdot (1 + x + x^2) - 2 \cdot (1 - x) = 2x + 1 $

Раскроем скобки:

$ 1 + x + x^2 - 2 + 2x = 2x + 1 $

Приведем подобные слагаемые:

$ x^2 + 3x - 1 = 2x + 1 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ x^2 + 3x - 2x - 1 - 1 = 0 $

$ x^2 + x - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = -1 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -2 $. Корни:

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = -2 $

Проверим корни по ОДЗ. Корень $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 1 $, поэтому является посторонним. Корень $ x_2 = -2 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{17y - 10}{y^2 + y + 1} - \frac{25}{y - 1} = \frac{65}{y^3 - 1} $

Разложим знаменатель $ y^3 - 1 $ по формуле разности кубов:

$ y^3 - 1 = (y - 1)(y^2 + y + 1) $

ОДЗ: $ y - 1 \neq 0 $, то есть $ y \neq 1 $. (Выражение $ y^2 + y + 1 $ всегда положительно).

Общий знаменатель: $ (y - 1)(y^2 + y + 1) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ (17y - 10)(y - 1) - 25(y^2 + y + 1) = 65 $

Раскроем скобки:

$ 17y^2 - 17y - 10y + 10 - 25y^2 - 25y - 25 = 65 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (17 - 25)y^2 + (-17 - 10 - 25)y + (10 - 25) = 65 $

$ -8y^2 - 52y - 15 = 65 $

Перенесем 65 в левую часть:

$ -8y^2 - 52y - 15 - 65 = 0 $

$ -8y^2 - 52y - 80 = 0 $

Разделим все уравнение на -4 для упрощения:

$ 2y^2 + 13y + 20 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20 = 169 - 160 = 9 = 3^2 $

$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5 $

$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ y \neq 1 $).

Ответ: -4; -2,5.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2 + x + 16}{x^2 - x + 1} - \frac{36 - x}{x^3 + 1} = \frac{x - 6}{x + 1} $

Разложим знаменатель $ x^3 + 1 $ по формуле суммы кубов:

$ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) $

ОДЗ: $ x + 1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $. (Выражение $ x^2 - x + 1 $ всегда положительно).

Общий знаменатель: $ (x + 1)(x^2 - x + 1) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ (x^2 + x + 16)(x + 1) - (36 - x) = (x - 6)(x^2 - x + 1) $

Раскроем скобки в обеих частях:

Левая часть: $ x^3 + x^2 + 16x + x^2 + x + 16 - 36 + x = x^3 + 2x^2 + 18x - 20 $

Правая часть: $ x^3 - x^2 + x - 6x^2 + 6x - 6 = x^3 - 7x^2 + 7x - 6 $

Приравняем обе части:

$ x^3 + 2x^2 + 18x - 20 = x^3 - 7x^2 + 7x - 6 $

Сократим $ x^3 $ и перенесем все члены в левую часть:

$ 2x^2 + 18x - 20 + 7x^2 - 7x + 6 = 0 $

$ (2+7)x^2 + (18-7)x + (-20+6) = 0 $

$ 9x^2 + 11x - 14 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-14) = 121 + 504 = 625 = 25^2 $

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 25}{2 \cdot 9} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9} $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 25}{2 \cdot 9} = \frac{-36}{18} = -2 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq -1 $).

Ответ: -2; $ \frac{7}{9} $.