Номер 10.29, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.29. 1) $ \frac{x^3 - 8}{2x - 4} + 18 = 12x; $

2) $ \frac{8x^3 + 27}{4x + 6} - 21 = 5x; $

3) $ \frac{x^4 - 256}{16 - x^2} - 24 = 14x; $

4) $ \frac{x^4 - 625}{25 - x^2} + 90 = -8x. $

1) $\frac{x^3 - 8}{2x - 4} + 18 = 12x$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых уравнение имеет смысл. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$2x - 4 \neq 0$

$2x \neq 4$

$x \neq 2$

Далее, упростим левую часть уравнения. Числитель дроби $x^3 - 8$ является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

Знаменатель $2x - 4$ можно разложить, вынеся общий множитель 2:

$2x - 4 = 2(x - 2)$

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{2(x - 2)}$

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 2)$:

$\frac{x^2 + 2x + 4}{2}$

Подставим упрощенное выражение обратно в исходное уравнение:

$\frac{x^2 + 2x + 4}{2} + 18 = 12x$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$(x^2 + 2x + 4) + 2 \cdot 18 = 2 \cdot 12x$

$x^2 + 2x + 4 + 36 = 24x$

$x^2 + 2x + 40 = 24x$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x - 24x + 40 = 0$

$x^2 - 22x + 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 484 - 160 = 324$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{22 + \sqrt{324}}{2} = \frac{22 + 18}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{22 - \sqrt{324}}{2} = \frac{22 - 18}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Сравним полученные корни с ОДЗ ($x \neq 2$). Корень $x_1 = 20$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.

Ответ: 20

2) $\frac{8x^3 + 27}{4x + 6} - 21 = 5x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$4x + 6 \neq 0$

$4x \neq -6$

$x \neq -\frac{6}{4} \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$

Упростим дробь. Числитель $8x^3 + 27$ — это сумма кубов $(2x)^3 + 3^3$, которая раскладывается по формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$8x^3 + 27 = (2x + 3)((2x)^2 - 2x \cdot 3 + 3^2) = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)$

В знаменателе вынесем общий множитель 2:

$4x + 6 = 2(2x + 3)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на $(2x + 3)$, так как $x \neq -\frac{3}{2}$:

$\frac{(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)}{2(2x + 3)} = \frac{4x^2 - 6x + 9}{2}$

Подставим упрощенное выражение в уравнение:

$\frac{4x^2 - 6x + 9}{2} - 21 = 5x$

Умножим обе части на 2:

$4x^2 - 6x + 9 - 42 = 10x$

$4x^2 - 6x - 33 = 10x$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$4x^2 - 16x - 33 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 256 + 528 = 784$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{16 + \sqrt{784}}{2 \cdot 4} = \frac{16 + 28}{8} = \frac{44}{8} = \frac{11}{2} = 5,5$

$x_2 = \frac{16 - \sqrt{784}}{2 \cdot 4} = \frac{16 - 28}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -\frac{3}{2}$). Корень $x_1 = 5,5$ подходит. Корень $x_2 = -\frac{3}{2}$ является посторонним.

Ответ: 5,5

3) $\frac{x^4 - 256}{16 - x^2} - 24 = 14x$

Найдем ОДЗ:

$16 - x^2 \neq 0$

$x^2 \neq 16 \Rightarrow x \neq 4$ и $x \neq -4$

Упростим дробь. Числитель $x^4 - 256$ является разностью квадратов $(x^2)^2 - 16^2$:

$x^4 - 256 = (x^2 - 16)(x^2 + 16)$

Знаменатель $16 - x^2$ можно представить как $-(x^2 - 16)$.

Дробь принимает вид:

$\frac{(x^2 - 16)(x^2 + 16)}{-(x^2 - 16)}$

Сократим дробь на $(x^2 - 16)$, так как $x^2 \neq 16$:

$-(x^2 + 16) = -x^2 - 16$

Подставим в исходное уравнение:

$-x^2 - 16 - 24 = 14x$

$-x^2 - 40 = 14x$

Перенесем все в правую часть и запишем в стандартном виде:

$x^2 + 14x + 40 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна -14, а их произведение равно 40. Это числа -10 и -4.

$x_1 = -10$, $x_2 = -4$

Проверим корни по ОДЗ ($x \neq 4, x \neq -4$). Корень $x_1 = -10$ подходит. Корень $x_2 = -4$ не подходит.

Ответ: -10

4) $\frac{x^4 - 625}{25 - x^2} + 90 = -8x$

Найдем ОДЗ:

$25 - x^2 \neq 0$

$x^2 \neq 25 \Rightarrow x \neq 5$ и $x \neq -5$

Упростим дробь. Числитель $x^4 - 625$ — это разность квадратов $(x^2)^2 - 25^2$:

$x^4 - 625 = (x^2 - 25)(x^2 + 25)$

Знаменатель: $25 - x^2 = -(x^2 - 25)$

Сократим дробь, учитывая ОДЗ:

$\frac{(x^2 - 25)(x^2 + 25)}{-(x^2 - 25)} = -(x^2 + 25) = -x^2 - 25$

Подставим в уравнение:

$-x^2 - 25 + 90 = -8x$

$-x^2 + 65 = -8x$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 8x - 65 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение -65. Это числа 13 и -5.

$x_1 = 13$, $x_2 = -5$

Проверим корни по ОДЗ ($x \neq 5, x \neq -5$). Корень $x_1 = 13$ подходит. Корень $x_2 = -5$ является посторонним.

Ответ: 13