Номер 10.34, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.34. 1)
$\frac{2x^2 - 3x - 20}{6x^2 - 20x - 16} = \frac{(6x - 4)^2}{36x^2 - 16}$

2) $\frac{x^2 + x - 12}{6x^2 - 10x - 24} = \frac{(6x - 8)^2}{36x^2 - 64}$

3) $\frac{2x^2 - 7x + 6}{3x^2 - 4x - 4} = \frac{(3x - 2)^2}{9x^2 - 4}$

1)

Решим уравнение $ \frac{2x^2 - 3x - 20}{6x^2 - 20x - 16} = \frac{(6x - 4)^2}{36x^2 - 16} $. Для этого упростим обе части уравнения, разложив числители и знаменатели на множители.

Сначала преобразуем левую часть. Разложим числитель $2x^2 - 3x - 20$. Корни уравнения $2x^2 - 3x - 20 = 0$ находятся через дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169 = 13^2$. Корни: $x_1 = \frac{3+13}{4}=4$, $x_2 = \frac{3-13}{4}=-\frac{5}{2}$. Тогда $2x^2 - 3x - 20 = 2(x-4)(x+\frac{5}{2}) = (x-4)(2x+5)$.
Разложим знаменатель $6x^2 - 20x - 16 = 2(3x^2 - 10x - 8)$. Корни уравнения $3x^2 - 10x - 8 = 0$ находятся через дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$. Корни: $x_1 = \frac{10+14}{6}=4$, $x_2 = \frac{10-14}{6}=-\frac{2}{3}$. Тогда $6x^2 - 20x - 16 = 2 \cdot 3(x-4)(x+\frac{2}{3}) = 2(x-4)(3x+2)$.
Левая часть равна $ \frac{(x-4)(2x+5)}{2(x-4)(3x+2)} = \frac{2x+5}{2(3x+2)} = \frac{2x+5}{6x+4} $.

Теперь преобразуем правую часть. Знаменатель $36x^2 - 16$ является разностью квадратов: $(6x)^2 - 4^2 = (6x-4)(6x+4)$.
Правая часть равна $ \frac{(6x-4)^2}{(6x-4)(6x+4)} = \frac{6x-4}{6x+4} $.

Уравнение принимает вид $ \frac{2x+5}{6x+4} = \frac{6x-4}{6x+4} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условий, при которых происходило сокращение дробей и знаменатели не равны нулю: $x-4 \neq 0$, $3x+2 \neq 0$, $6x-4 \neq 0$, $6x+4 \neq 0$. Отсюда $x \neq 4$, $x \neq -2/3$, $x \neq 2/3$.
Поскольку знаменатели в упрощенном уравнении равны, приравниваем числители:
$2x+5 = 6x-4$
$9 = 4x$
$x = \frac{9}{4}$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=\frac{9}{4}$.

2)

Решим уравнение $ \frac{x^2 + x - 12}{6x^2 - 10x - 24} = \frac{(6x - 8)^2}{36x^2 - 64} $. Упростим обе части.

Преобразуем левую часть. Разложим числитель $x^2 + x - 12$. По теореме Виета корни уравнения $x^2+x-12=0$ равны $3$ и $-4$, поэтому $x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$.
Разложим знаменатель $6x^2 - 10x - 24 = 2(3x^2-5x-12)$. Корни уравнения $3x^2-5x-12=0$ находятся через дискриминант $D=(-5)^2-4 \cdot 3 \cdot (-12)=25+144=169=13^2$. Корни: $x_1=\frac{5+13}{6}=3$, $x_2=\frac{5-13}{6}=-\frac{4}{3}$. Тогда $6x^2-10x-24 = 2 \cdot 3(x-3)(x+\frac{4}{3}) = 2(x-3)(3x+4)$.
Левая часть равна $ \frac{(x-3)(x+4)}{2(x-3)(3x+4)} = \frac{x+4}{2(3x+4)} = \frac{x+4}{6x+8} $.

Преобразуем правую часть. Знаменатель $36x^2-64$ это разность квадратов: $(6x)^2 - 8^2 = (6x-8)(6x+8)$.
Правая часть равна $ \frac{(6x-8)^2}{(6x-8)(6x+8)} = \frac{6x-8}{6x+8} $.

Уравнение принимает вид $ \frac{x+4}{6x+8} = \frac{6x-8}{6x+8} $.
ОДЗ: $x-3 \neq 0$, $3x+4 \neq 0$, $6x-8 \neq 0$, $6x+8 \neq 0$. Отсюда $x \neq 3$, $x \neq -4/3$, $x \neq 4/3$.
Приравниваем числители:
$x+4 = 6x-8$
$12 = 5x$
$x = \frac{12}{5}$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=\frac{12}{5}$.

3)

Решим уравнение $ \frac{2x^2 - 7x + 6}{3x^2 - 4x - 4} = \frac{(3x - 2)^2}{9x^2 - 4} $. Упростим обе части.

Преобразуем левую часть. Разложим числитель $2x^2 - 7x + 6$. Корни уравнения $2x^2-7x+6=0$ находятся через дискриминант $D=(-7)^2-4 \cdot 2 \cdot 6=49-48=1$. Корни: $x_1=\frac{7+1}{4}=2$, $x_2=\frac{7-1}{4}=\frac{3}{2}$. Тогда $2x^2-7x+6 = 2(x-2)(x-\frac{3}{2}) = (x-2)(2x-3)$.
Разложим знаменатель $3x^2-4x-4$. Корни уравнения $3x^2-4x-4=0$ находятся через дискриминант $D=(-4)^2-4 \cdot 3 \cdot (-4)=16+48=64=8^2$. Корни: $x_1=\frac{4+8}{6}=2$, $x_2=\frac{4-8}{6}=-\frac{2}{3}$. Тогда $3x^2-4x-4=3(x-2)(x+\frac{2}{3})=(x-2)(3x+2)$.
Левая часть равна $ \frac{(x-2)(2x-3)}{(x-2)(3x+2)} = \frac{2x-3}{3x+2} $.

Преобразуем правую часть. Знаменатель $9x^2-4$ это разность квадратов: $(3x)^2 - 2^2 = (3x-2)(3x+2)$.
Правая часть равна $ \frac{(3x-2)^2}{(3x-2)(3x+2)} = \frac{3x-2}{3x+2} $.

Уравнение принимает вид $ \frac{2x-3}{3x+2} = \frac{3x-2}{3x+2} $.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$, $3x+2 \neq 0$, $3x-2 \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$, $x \neq -2/3$, $x \neq 2/3$.
Приравниваем числители:
$2x-3 = 3x-2$
$-1 = x$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=-1$.