Номер 10.40, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.40. 1) $ \frac{1 - 9x}{x^2 + 2x - 3} - \frac{3x - 1}{1 - x} = \frac{2x}{x + 3} $;

2) $ \frac{3(2x^2 - x - 1)}{x^2 + x - 6} = 1 + \frac{4x}{x + 3} $.

1) $\frac{1 - 9x}{x^2 + 2x - 3} - \frac{3x - 1}{1 - x} = \frac{2x}{x + 3}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.

Условия для знаменателей:

$x^2 + 2x - 3 \neq 0 \implies (x - 1)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -3$.

$1 - x \neq 0 \implies x \neq 1$.

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

Итак, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

Преобразуем уравнение, учитывая разложение знаменателя и изменив знак во второй дроби:

$\frac{1 - 9x}{(x - 1)(x + 3)} - \frac{3x - 1}{-(x - 1)} = \frac{2x}{x + 3}$

$\frac{1 - 9x}{(x - 1)(x + 3)} + \frac{3x - 1}{x - 1} = \frac{2x}{x + 3}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x + 3)$:

$\frac{1 - 9x}{(x - 1)(x + 3)} + \frac{(3x - 1)(x + 3)}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{2x(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)}$

Так как $x$ не равен $1$ и $-3$, мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от него:

$1 - 9x + (3x - 1)(x + 3) = 2x(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$1 - 9x + 3x^2 + 9x - x - 3 = 2x^2 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 - x - 2 = 2x^2 - 2x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$3x^2 - 2x^2 - x + 2x - 2 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$, $x \neq -3$).

Корень $x_1 = 1$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.

2) $\frac{3(2x^2 - x - 1)}{x^2 + x - 6} = 1 + \frac{4x}{x + 3}$

Найдем ОДЗ. Разложим знаменатель левой части на множители: $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$.

Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x^2 + x - 6 \neq 0 \implies (x - 2)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -3$.

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$\frac{3(2x^2 - x - 1)}{(x - 2)(x + 3)} - 1 - \frac{4x}{x + 3} = 0$

Приведем все к общему знаменателю $(x - 2)(x + 3)$:

$\frac{3(2x^2 - x - 1)}{(x - 2)(x + 3)} - \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 3)} - \frac{4x(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} = 0$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{3(2x^2 - x - 1) - (x^2 + x - 6) - 4x(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ). Решим уравнение для числителя:

$3(2x^2 - x - 1) - (x^2 + x - 6) - 4x(x - 2) = 0$

Раскроем скобки:

$6x^2 - 3x - 3 - x^2 - x + 6 - 4x^2 + 8x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - x^2 - 4x^2) + (-3x - x + 8x) + (-3 + 6) = 0$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -4$

$x_1 \cdot x_2 = 3$

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$, $x \neq -3$).

Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -3$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ.

Ответ: -1.