Номер 10.42, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.42. Между какими последовательными целыми числами находится каждый из корней уравнения:

1) $2x^2 - 13x - 25 = 0;$

2) $3x^2 - 17x - 18 = 0;$

3) $2x^2 - 15x - 23 = 0;$

4) $5x^2 - 11x - 19 = 0?$

Чтобы найти, между какими последовательными целыми числами находится каждый из корней уравнения, мы сначала найдем корни каждого квадратного уравнения по формуле, а затем оценим их значения.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ (дискриминант).

1) $2x^2 - 13x - 25 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 169 + 200 = 369$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{369}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm \sqrt{369}}{4}$.

Оценим значение $\sqrt{369}$. Мы знаем, что $19^2 = 361$ и $20^2 = 400$. Следовательно, $19 < \sqrt{369} < 20$.

Найдем промежуток для первого корня $x_1 = \frac{13 + \sqrt{369}}{4}$:

$\frac{13 + 19}{4} < x_1 < \frac{13 + 20}{4}$

$\frac{32}{4} < x_1 < \frac{33}{4}$

$8 < x_1 < 8.25$

Значит, корень $x_1$ находится между числами 8 и 9.

Найдем промежуток для второго корня $x_2 = \frac{13 - \sqrt{369}}{4}$:

$\frac{13 - 20}{4} < x_2 < \frac{13 - 19}{4}$

$\frac{-7}{4} < x_2 < \frac{-6}{4}$

$-1.75 < x_2 < -1.5$

Значит, корень $x_2$ находится между числами -2 и -1.

Ответ: первый корень находится между 8 и 9, второй корень — между -2 и -1.

2) $3x^2 - 17x - 18 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-18) = 289 + 216 = 505$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{505}}{2 \cdot 3} = \frac{17 \pm \sqrt{505}}{6}$.

Оценим значение $\sqrt{505}$. Мы знаем, что $22^2 = 484$ и $23^2 = 529$. Следовательно, $22 < \sqrt{505} < 23$.

Найдем промежуток для первого корня $x_1 = \frac{17 + \sqrt{505}}{6}$:

$\frac{17 + 22}{6} < x_1 < \frac{17 + 23}{6}$

$\frac{39}{6} < x_1 < \frac{40}{6}$

$6.5 < x_1 < 6.66...$

Значит, корень $x_1$ находится между числами 6 и 7.

Найдем промежуток для второго корня $x_2 = \frac{17 - \sqrt{505}}{6}$:

$\frac{17 - 23}{6} < x_2 < \frac{17 - 22}{6}$

$\frac{-6}{6} < x_2 < \frac{-5}{6}$

$-1 < x_2 < -0.83...$

Значит, корень $x_2$ находится между числами -1 и 0.

Ответ: первый корень находится между 6 и 7, второй корень — между -1 и 0.

3) $2x^2 - 15x - 23 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-23) = 225 + 184 = 409$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{409}}{2 \cdot 2} = \frac{15 \pm \sqrt{409}}{4}$.

Оценим значение $\sqrt{409}$. Мы знаем, что $20^2 = 400$ и $21^2 = 441$. Следовательно, $20 < \sqrt{409} < 21$.

Найдем промежуток для первого корня $x_1 = \frac{15 + \sqrt{409}}{4}$:

$\frac{15 + 20}{4} < x_1 < \frac{15 + 21}{4}$

$\frac{35}{4} < x_1 < \frac{36}{4}$

$8.75 < x_1 < 9$

Значит, корень $x_1$ находится между числами 8 и 9.

Найдем промежуток для второго корня $x_2 = \frac{15 - \sqrt{409}}{4}$:

$\frac{15 - 21}{4} < x_2 < \frac{15 - 20}{4}$

$\frac{-6}{4} < x_2 < \frac{-5}{4}$

$-1.5 < x_2 < -1.25$

Значит, корень $x_2$ находится между числами -2 и -1.

Ответ: первый корень находится между 8 и 9, второй корень — между -2 и -1.

4) $5x^2 - 11x - 19 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-19) = 121 + 380 = 501$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{501}}{2 \cdot 5} = \frac{11 \pm \sqrt{501}}{10}$.

Оценим значение $\sqrt{501}$. Мы знаем, что $22^2 = 484$ и $23^2 = 529$. Следовательно, $22 < \sqrt{501} < 23$.

Найдем промежуток для первого корня $x_1 = \frac{11 + \sqrt{501}}{10}$:

$\frac{11 + 22}{10} < x_1 < \frac{11 + 23}{10}$

$\frac{33}{10} < x_1 < \frac{34}{10}$

$3.3 < x_1 < 3.4$

Значит, корень $x_1$ находится между числами 3 и 4.

Найдем промежуток для второго корня $x_2 = \frac{11 - \sqrt{501}}{10}$:

$\frac{11 - 23}{10} < x_2 < \frac{11 - 22}{10}$

$\frac{-12}{10} < x_2 < \frac{-11}{10}$

$-1.2 < x_2 < -1.1$

Значит, корень $x_2$ находится между числами -2 и -1.

Ответ: первый корень находится между 3 и 4, второй корень — между -2 и -1.