Номер 10.43, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.43. Решите квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом:

1) $7x^2 + 2x - 9 = 0;$

2) $5x^2 - 30x - 360 = 0;$

3) $9x^2 - 102x + 289 = 0;$

4) $7x^2 - 102x - 1067 = 0.$

Для решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, в котором второй коэффициент $b$ является четным числом, удобно использовать специальную формулу. Если представить $b$ как $2k$ (где $k = b/2$), то формула для корней уравнения упрощается:

$x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Величина $D_1 = k^2 - ac$ называется дискриминантом, деленным на 4 ($D/4$).

1) $7x^2 + 2x - 9 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 7$, $b = 2$, $c = -9$. Второй коэффициент $b=2$ является четным. Найдем $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Теперь вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$: $D_1 = 1^2 - 7 \cdot (-9) = 1 + 63 = 64$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле: $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-1 \pm \sqrt{64}}{7} = \frac{-1 \pm 8}{7}$. $x_1 = \frac{-1 + 8}{7} = \frac{7}{7} = 1$. $x_2 = \frac{-1 - 8}{7} = -\frac{9}{7}$.
Ответ: $1; -\frac{9}{7}$.

2) $5x^2 - 30x - 360 = 0$

Заметим, что все коэффициенты уравнения ($5, -30, -360$) делятся на 5. Упростим уравнение, разделив обе его части на 5: $x^2 - 6x - 72 = 0$. Теперь коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = -72$. Второй коэффициент $b=-6$ является четным. Найдем $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{-6}{2} = -3$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$: $D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot (-72) = 9 + 72 = 81$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле: $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{1} = 3 \pm 9$. $x_1 = 3 + 9 = 12$. $x_2 = 3 - 9 = -6$.
Ответ: $12; -6$.

3) $9x^2 - 102x + 289 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 9$, $b = -102$, $c = 289$. Второй коэффициент $b=-102$ является четным. Найдем $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{-102}{2} = -51$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$: $D_1 = (-51)^2 - 9 \cdot 289 = 2601 - 2601 = 0$. Так как $D_1 = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Найдем корень по формуле $x = \frac{-k}{a}$: $x = \frac{-(-51)}{9} = \frac{51}{9}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $x = \frac{17}{3}$.
Ответ: $\frac{17}{3}$.

4) $7x^2 - 102x - 1067 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 7$, $b = -102$, $c = -1067$. Второй коэффициент $b=-102$ является четным. Найдем $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{-102}{2} = -51$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$: $D_1 = (-51)^2 - 7 \cdot (-1067) = 2601 - (-7469) = 2601 + 7469 = 10070$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле: $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-51) \pm \sqrt{10070}}{7} = \frac{51 \pm \sqrt{10070}}{7}$.
Ответ: $\frac{51 \pm \sqrt{10070}}{7}$.