Номер 11.1, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Способом введения новой переменной решите уравнения (11.1–11.6):

11.1. 1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0;$

2) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0;$

3) $9x^4 + 23x^2 - 12 = 0;$

4) $16x^4 - 409x^2 + 225 = 0.$

1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную.
Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 5t + 4 = 0$.
Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = 5$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 4$. Отсюда легко подобрать корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
Либо решим через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$.
$t_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$.
Оба корня ($1$ и $4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену для нахождения $x$.
1. Если $t = 1$, то $x^2 = 1$, откуда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_{1,2} = \pm 1$.
2. Если $t = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_{3,4} = \pm 2$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

2) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Введем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 8t - 9 = 0$.
Решим его. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 8$ и $t_1 \cdot t_2 = -9$. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Либо через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.
$t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 10}{2}$.
$t_1 = \frac{8 + 10}{2} = 9$.
$t_2 = \frac{8 - 10}{2} = -1$.
Проверим найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 9$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($x^2$ не может быть отрицательным), поэтому это посторонний корень для нашей замены.
Выполним обратную замену для $t = 9$:
$x^2 = 9$.
$x = \pm\sqrt{9}$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $-3; 3$.

3) $9x^4 + 23x^2 - 12 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
После замены получаем квадратное уравнение:
$9t^2 + 23t - 12 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-12) = 529 + 432 = 961$.
Так как $30^2=900$, проверим $31^2 = 961$. Значит $\sqrt{D} = 31$.
$t = \frac{-23 \pm 31}{2 \cdot 9} = \frac{-23 \pm 31}{18}$.
$t_1 = \frac{-23 + 31}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
$t_2 = \frac{-23 - 31}{18} = \frac{-54}{18} = -3$.
Сравним корни с условием $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 4/9$ подходит.
Корень $t_2 = -3$ не подходит, так как он отрицательный.
Произведем обратную замену:
$x^2 = \frac{4}{9}$.
$x = \pm \sqrt{\frac{4}{9}}$, откуда $x_{1,2} = \pm \frac{2}{3}$.
Уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $-\frac{2}{3}; \frac{2}{3}$.

4) $16x^4 - 409x^2 + 225 = 0$

Для решения этого биквадратного уравнения введем новую переменную $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение преобразуется в квадратное:
$16t^2 - 409t + 225 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-409)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 225 = 167281 - 64 \cdot 225 = 167281 - 14400 = 152881$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{152881} = 391$.
Найдем корни для $t$:
$t = \frac{-(-409) \pm 391}{2 \cdot 16} = \frac{409 \pm 391}{32}$.
$t_1 = \frac{409 + 391}{32} = \frac{800}{32} = 25$.
$t_2 = \frac{409 - 391}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$.
Оба корня, $t_1 = 25$ и $t_2 = \frac{9}{16}$, положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого корня.
1. При $t = 25$:
$x^2 = 25 \implies x = \pm \sqrt{25} = \pm 5$.
2. При $t = \frac{9}{16}$:
$x^2 = \frac{9}{16} \implies x = \pm \sqrt{\frac{9}{16}} = \pm \frac{3}{4}$.
Уравнение имеет четыре действительных корня.
Ответ: $-5; -\frac{3}{4}; \frac{3}{4}; 5$.