Номер 11.7, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.7. Решите уравнение:

1) $|x^2 - 3x| - 10 = 0;$

2) $|x^2 + 0,1x| + 3,06 = 0;$

3) $|\frac{3}{4}x^2 + 2x| - 1 = 0;$

4) $|x^2 - \frac{1}{4}x| = \frac{3}{4}.$

5) $x^2 - 3|x| - 10 = 0;$

6) $x^2 - 2,1|x| + 1,1 = 0;$

7) $\frac{3}{4}x^2 + 2|x| - 1 = 0;$

8) $x^2 - \frac{1}{4}|x| = \frac{3}{4}.$

1) $|x^2 - 3x| - 10 = 0$

Перенесем 10 в правую часть уравнения:

$|x^2 - 3x| = 10$

Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:

а) $x^2 - 3x = 10$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = -2$.

б) $x^2 - 3x = -10$

$x^2 - 3x + 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -2$.

2) $|x^2 + 0,1x| + 3,06 = 0$

Перенесем 3,06 в правую часть уравнения:

$|x^2 + 0,1x| = -3,06$

Модуль любого действительного числа (или выражения) всегда неотрицателен, то есть $|A| \ge 0$. В данном уравнении левая часть неотрицательна, а правая - отрицательна. Такое равенство невозможно.

Ответ: нет решений.

3) $|\frac{3}{4}x^2 + 2x| - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$|\frac{3}{4}x^2 + 2x| = 1$

Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:

а) $\frac{3}{4}x^2 + 2x = 1 \implies \frac{3}{4}x^2 + 2x - 1 = 0$. Умножим на 4: $3x^2 + 8x - 4 = 0$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 64 + 48 = 112 = 16 \cdot 7$.

$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{3}$.

б) $\frac{3}{4}x^2 + 2x = -1 \implies \frac{3}{4}x^2 + 2x + 1 = 0$. Умножим на 4: $3x^2 + 8x + 4 = 0$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.

$x_3 = \frac{-8 + 4}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

$x_4 = \frac{-8 - 4}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -\frac{2}{3}, x_{3,4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{3}$.

4) $|x^2 - \frac{1}{4}x| = \frac{3}{4}$

Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:

а) $x^2 - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4} \implies x^2 - \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} = 0$. Умножим на 4: $4x^2 - x - 3 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{1 + 7}{8} = 1$.

$x_2 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.

б) $x^2 - \frac{1}{4}x = -\frac{3}{4} \implies x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{3}{4} = 0$. Умножим на 4: $4x^2 - x + 3 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 - 48 = -47$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -\frac{3}{4}$.

5) $x^2 - 3|x| - 10 = 0$

Так как $x^2 = (|x|)^2$, мы можем сделать замену переменной. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $y^2 - 3y - 10 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$y_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

$y_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2$.

Поскольку $y = |x| \ge 0$, корень $y_2 = -2$ является посторонним. Остается $y_1 = 5$.

Вернемся к замене: $|x| = 5$.

Это дает два корня: $x=5$ и $x=-5$.

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -5$.

6) $x^2 - 2,1|x| + 1,1 = 0$

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид: $y^2 - 2,1y + 1,1 = 0$.

Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $10y^2 - 21y + 11 = 0$.

$D = (-21)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 11 = 441 - 440 = 1$.

$y_1 = \frac{21 + 1}{20} = \frac{22}{20} = 1,1$.

$y_2 = \frac{21 - 1}{20} = \frac{20}{20} = 1$.

Оба корня для $y$ положительны, поэтому оба подходят.

а) $|x| = 1,1 \implies x = \pm 1,1$.

б) $|x| = 1 \implies x = \pm 1$.

Ответ: $x_{1,2} = \pm 1, x_{3,4} = \pm 1,1$.

7) $\frac{3}{4}x^2 + 2|x| - 1 = 0$

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид: $\frac{3}{4}y^2 + 2y - 1 = 0$.

Умножим уравнение на 4: $3y^2 + 8y - 4 = 0$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 64 + 48 = 112 = 16 \cdot 7$.

$y_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{112}}{6} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{3}$.

$y_1 = \frac{-4 + 2\sqrt{7}}{3}$. Так как $2\sqrt{7} = \sqrt{28}$ и $4 = \sqrt{16}$, то $2\sqrt{7} > 4$, значит $y_1 > 0$. Этот корень подходит.

$y_2 = \frac{-4 - 2\sqrt{7}}{3}$. Этот корень отрицательный, поэтому он посторонний.

Вернемся к замене: $|x| = \frac{-4 + 2\sqrt{7}}{3}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\sqrt{7}-4}{3}$.

8) $x^2 - \frac{1}{4}|x| = \frac{3}{4}$

Перепишем уравнение: $x^2 - \frac{1}{4}|x| - \frac{3}{4} = 0$.

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид: $y^2 - \frac{1}{4}y - \frac{3}{4} = 0$.

Умножим уравнение на 4: $4y^2 - y - 3 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$y_1 = \frac{1 + 7}{8} = 1$.

$y_2 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Поскольку $y \ge 0$, корень $y_2 = -3/4$ является посторонним. Остается $y_1 = 1$.

Вернемся к замене: $|x| = 1$.

Это дает два корня: $x=1$ и $x=-1$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.