Номер 11.13, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (11.13–11.19):

11.13. 1) $x^2 + (\sqrt{x})^2 - 2 = 0;

2) $x^2 + \sqrt{x^2} - 2 = 0;

3) $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 - 4 = 0;

4) $x^2 - 3\sqrt{x^2} - 4 = 0.$

1) Исходное уравнение: $x^2 + (\sqrt{x})^2 - 2 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием квадратного корня из переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, следовательно, $x \ge 0$.
По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $x$ справедливо равенство $(\sqrt{x})^2 = x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$x^2 + x - 2 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$, следовательно, является решением исходного уравнения.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 < 0$, следовательно, является посторонним корнем.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $1$.

2) Исходное уравнение: $x^2 + \sqrt{x^2} - 2 = 0$.
В этом уравнении под корнем стоит $x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.
По свойству квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $\sqrt{x^2} = |x|$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 + |x| - 2 = 0$
Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая:
Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.
$x^2 + x - 2 = 0$
Корни этого уравнения, как мы нашли в предыдущем пункте, $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Проверяем соответствие условию $x \ge 0$:
$x_1 = 1$ подходит ($1 \ge 0$).
$x_2 = -2$ не подходит ($-2 < 0$).
Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверяем соответствие условию $x < 0$:
$x_1 = 2$ не подходит ($2 > 0$).
$x_2 = -1$ подходит ($-1 < 0$).
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: $1; -1$.

3) Исходное уравнение: $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 - 4 = 0$.
ОДЗ уравнения: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Упростим уравнение, используя тождество $(\sqrt{x})^2 = x$ (справедливо при $x \ge 0$):
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 < 0$, поэтому является посторонним.
Следовательно, решение одно.
Ответ: $4$.

4) Исходное уравнение: $x^2 - 3\sqrt{x^2} - 4 = 0$.
ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty; +\infty)$, так как $x^2 \ge 0$ при любом $x$.
Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение приобретает вид:
$x^2 - 3|x| - 4 = 0$
Так как $x^2 = |x|^2$, можно сделать замену переменной. Пусть $t = |x|$. Учитывая, что модуль числа всегда неотрицателен, $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 3t - 4 = 0$
По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 3$
$t_1 \cdot t_2 = -4$
Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Проверяем корни на соответствие условию $t \ge 0$:
$t_1 = 4$ подходит ($4 \ge 0$).
$t_2 = -1$ не подходит ($-1 < 0$).
Возвращаемся к исходной переменной $x$, используя корень $t = 4$:
$|x| = 4$
Это уравнение имеет два решения: $x = 4$ и $x = -4$.
Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: $4; -4$.