Номер 11.20, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.20. Решите уравнение с параметром:

1) $4x^4 - (a + 36)x^2 + 9a = 0;$

2) $9x^4 - (a - 18)x^2 - 2a = 0.$

1) Исходное уравнение $4x^4 - (a + 36)x^2 + 9a = 0$ является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид $4t^2 - (a + 36)t + 9a = 0$. Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его дискриминант: $D = (-(a + 36))^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9a = (a + 36)^2 - 144a = a^2 + 72a + 1296 - 144a = a^2 - 72a + 1296 = (a - 36)^2$. Найдем корни уравнения для $t$: $t = \frac{(a + 36) \pm \sqrt{(a - 36)^2}}{8} = \frac{a + 36 \pm |a - 36|}{8}$. Независимо от знака выражения $a-36$, корнями для $t$ являются $t_1 = 9$ и $t_2 = \frac{a}{4}$. Вернемся к замене $x^2 = t$. Так как $x^2 \ge 0$, мы должны учитывать только неотрицательные значения $t$. Корень $t_1=9$ всегда положителен, и уравнение $x^2=9$ дает корни $x = \pm 3$. Эти корни существуют при любом значении параметра $a$. Корень $t_2 = \frac{a}{4}$ является неотрицательным при $a \ge 0$. Рассмотрим различные случаи для параметра $a$. Если $a < 0$, то $t_2 < 0$, и этот корень не дает действительных решений для $x$. Остаются только корни $x = \pm 3$. Если $a = 0$, то $t_2 = 0$. Уравнение $x^2 = 0$ дает корень $x=0$. Таким образом, при $a=0$ решениями являются $x=0, \pm 3$. Если $a > 0$, то $t_2 > 0$. В этом случае оба корня для $t$ положительны. Уравнение $x^2=9$ дает корни $x=\pm 3$, а уравнение $x^2=\frac{a}{4}$ дает корни $x=\pm\frac{\sqrt{a}}{2}$. Эти наборы корней совпадают, если $9 = \frac{a}{4}$, то есть при $a=36$. При $a=36$ решением является $x = \pm 3$. Если же $a \in (0, 36) \cup (36, \infty)$, то уравнение имеет четыре различных корня: $x = \pm 3$ и $x = \pm\frac{\sqrt{a}}{2}$.
Ответ: если $a < 0$ или $a=36$, то $x = \pm 3$; если $a=0$, то $x=0, \pm 3$; если $a \in (0, 36) \cup (36, \infty)$, то $x = \pm 3, \pm \frac{\sqrt{a}}{2}$.

2) Уравнение $9x^4 - (a - 18)x^2 - 2a = 0$ является биквадратным. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получим квадратное уравнение относительно $t$: $9t^2 - (a - 18)t - 2a = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-(a - 18))^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2a) = (a - 18)^2 + 72a = a^2 - 36a + 324 + 72a = a^2 + 36a + 324 = (a + 18)^2$. Найдем корни для $t$: $t = \frac{(a - 18) \pm \sqrt{(a + 18)^2}}{2 \cdot 9} = \frac{a - 18 \pm |a + 18|}{18}$. Независимо от знака выражения $a+18$, корнями для $t$ являются $t_1 = -2$ и $t_2 = \frac{a}{9}$. Вернемся к замене $x^2=t$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, корень $t_1 = -2$ не дает действительных решений для $x$ ни при каком значении $a$. Рассмотрим второй корень $t_2 = \frac{a}{9}$. Уравнение $x^2 = \frac{a}{9}$ имеет действительные корни только в том случае, если правая часть неотрицательна, то есть $\frac{a}{9} \ge 0$, что эквивалентно $a \ge 0$. Проанализируем решения в зависимости от $a$. Если $a < 0$, то $t_2 = \frac{a}{9} < 0$. Оба корня для $t$ отрицательны, следовательно, действительных корней для $x$ нет. Если $a = 0$, то $t_2=0$. Уравнение $x^2=0$ имеет один корень $x=0$. Если $a > 0$, то $t_2 > 0$. Уравнение $x^2=\frac{a}{9}$ имеет два корня $x = \pm\sqrt{\frac{a}{9}} = \pm\frac{\sqrt{a}}{3}$.
Ответ: если $a < 0$, то нет корней; если $a=0$, то $x=0$; если $a > 0$, то $x = \pm \frac{\sqrt{a}}{3}$.