Номер 11.21, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.21. Решите уравнение:

1) $(x + 0.5) \cdot (x^2 - 9) = (2x + 1) \cdot (x + 3)^2;$

2) $(2x - 5) \cdot (x^2 - 0.01) = (x - 2.5) \cdot (x + 0.1)^2.$

1) $(x + 0,5) \cdot (x^2 - 9) = (2x + 1) \cdot (x + 3)^2$
Преобразуем уравнение, разложив его части на множители.
Заметим, что $2x + 1 = 2(x + 0,5)$, а выражение $x^2 - 9$ является разностью квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Подставим эти разложения в исходное уравнение:
$(x + 0,5)(x - 3)(x + 3) = 2(x + 0,5)(x + 3)^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$(x + 0,5)(x - 3)(x + 3) - 2(x + 0,5)(x + 3)^2 = 0$
Вынесем общие множители $(x + 0,5)(x + 3)$ за скобку:
$(x + 0,5)(x + 3) \cdot [ (x - 3) - 2(x + 3) ] = 0$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках:
$(x - 3) - 2(x + 3) = x - 3 - 2x - 6 = -x - 9 = -(x + 9)$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$-(x + 0,5)(x + 3)(x + 9) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x + 0,5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -0,5$
$x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -3$
$x + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = -9$
Ответ: $-9; -3; -0,5$.

2) $(2x - 5) \cdot (x^2 - 0,01) = (x - 2,5) \cdot (x + 0,1)^2$
Преобразуем уравнение, разложив его части на множители.
Заметим, что $2x - 5 = 2(x - 2,5)$, а выражение $x^2 - 0,01$ является разностью квадратов: $x^2 - 0,01 = x^2 - (0,1)^2 = (x - 0,1)(x + 0,1)$.
Подставим эти разложения в исходное уравнение:
$2(x - 2,5)(x - 0,1)(x + 0,1) = (x - 2,5)(x + 0,1)^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2(x - 2,5)(x - 0,1)(x + 0,1) - (x - 2,5)(x + 0,1)^2 = 0$
Вынесем общие множители $(x - 2,5)(x + 0,1)$ за скобку:
$(x - 2,5)(x + 0,1) \cdot [ 2(x - 0,1) - (x + 0,1) ] = 0$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках:
$2(x - 0,1) - (x + 0,1) = 2x - 0,2 - x - 0,1 = x - 0,3$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$(x - 2,5)(x + 0,1)(x - 0,3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x - 2,5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2,5$
$x + 0,1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -0,1$
$x - 0,3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = 0,3$
Ответ: $-0,1; 0,3; 2,5$.