Номер 11.26, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.26. 1) Решите уравнение $f(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)$, где $f(x) = \frac{x+1}{x^2}$.

2) Решите уравнение $f(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)$, где $f(x) = \frac{2x-3}{3x}$.

3) Решите уравнение $f(x) = -f(-|x|)$, где:

а) $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$; б) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$.

1)

Дано уравнение $f(x) = f(\frac{1}{x})$, где функция $f(x)$ определена как $f(x) = \frac{x+1}{x^2}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения. Аргумент функции $x$ не может быть равен нулю, так как знаменатель $x^2$ обращается в ноль. Также аргумент $\frac{1}{x}$ требует, чтобы $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Теперь найдем выражение для $f(\frac{1}{x})$, подставив $\frac{1}{x}$ вместо $x$ в формулу функции:

$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\frac{1}{x} + 1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2} = \frac{\frac{1+x}{x}}{\frac{1}{x^2}}$.

Упростим полученное выражение:

$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1+x}{x} \cdot x^2 = (x+1)x = x^2+x$.

Приравняем $f(x)$ и $f(\frac{1}{x})$ согласно условию задачи:

$\frac{x+1}{x^2} = x^2+x$.

Для решения уравнения перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{x+1}{x^2} - (x^2+x) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки. Заметим, что $x^2+x = x(x+1)$.

$(x+1)\left(\frac{1}{x^2} - x\right) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

Либо $x+1=0$, откуда $x = -1$.

Либо $\frac{1}{x^2} - x = 0$, откуда $\frac{1}{x^2} = x$. Умножив на $x^2$ (что возможно, так как $x \neq 0$), получаем $1 = x^3$, откуда $x = 1$.

Оба найденных значения, $x=-1$ и $x=1$, принадлежат ОДЗ.

Ответ: -1; 1.

2)

Дано уравнение $f(x) = f(\frac{1}{x})$, где $f(x) = \frac{2x-3}{3x}$.

ОДЗ уравнения определяется условиями $x \neq 0$ (из-за знаменателя в $f(x)$) и аргумент $\frac{1}{x}$ должен быть определен, что также требует $x \neq 0$. Итак, ОДЗ: $x \neq 0$.

Найдем $f(\frac{1}{x})$:

$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2\left(\frac{1}{x}\right) - 3}{3\left(\frac{1}{x}\right)} = \frac{\frac{2-3x}{x}}{\frac{3}{x}}$.

Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на $x$ (при $x \neq 0$):

$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2-3x}{3}$.

Составим и решим уравнение $f(x) = f(\frac{1}{x})$:

$\frac{2x-3}{3x} = \frac{2-3x}{3}$.

Умножим обе части уравнения на $3x$, чтобы избавиться от знаменателей (это допустимо, так как $x \neq 0$):

$2x-3 = x(2-3x)$.

$2x-3 = 2x-3x^2$.

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону:

$3x^2 = 3$.

$x^2 = 1$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; 1.

3) а)

Дано уравнение $f(x) = -f(-|x|)$, где $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

ОДЗ: знаменатель $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Также знаменатель в $f(-|x|)$ не должен быть равен нулю: $-|x|-1 \neq 0$, что эквивалентно $|x| \neq -1$. Это условие выполняется для любого действительного $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$.

Найдем выражение для правой части уравнения $-f(-|x|)$.

Сначала найдем $f(-|x|)$:

$f(-|x|) = \frac{-|x|+1}{-|x|-1} = \frac{1-|x|}{-(1+|x|)} = -\frac{1-|x|}{1+|x|}$.

Тогда $-f(-|x|)$ равно:

$-f(-|x|) = -\left(-\frac{1-|x|}{1+|x|}\right) = \frac{1-|x|}{1+|x|}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{x+1}{x-1} = \frac{1-|x|}{1+|x|}$.

Для решения этого уравнения с модулем рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, $|x| = x$. Уравнение принимает вид (с учетом ОДЗ $x \neq 1$):

$\frac{x+1}{x-1} = \frac{1-x}{1+x}$.

Используем перекрестное умножение:

$(x+1)(x+1) = (x-1)(1-x)$.

$(x+1)^2 = -(x-1)(x-1) = -(x-1)^2$.

$x^2+2x+1 = -(x^2-2x+1)$.

$x^2+2x+1 = -x^2+2x-1$.

$2x^2+2=0$.

$x^2+1=0 \implies x^2=-1$.

В этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$, $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{x+1}{x-1} = \frac{1-(-x)}{1+(-x)} = \frac{1+x}{1-x}$.

Перепишем уравнение как:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x+1}{1-x} = 0$.

Так как $1-x = -(x-1)$, то:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x+1}{-(x-1)} = 0 \implies \frac{x+1}{x-1} + \frac{x+1}{x-1} = 0$.

$2\frac{x+1}{x-1} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $x-1 \neq 0$ при $x<0$.

$x+1=0 \implies x=-1$.

Корень $x=-1$ удовлетворяет условию $x < 0$ и ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: -1.

3) б)

Дано уравнение $f(x) = -f(-|x|)$, где $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. В выражении $f(-|x|)$ знаменатель $-|x|-1 \neq 0$, что верно для всех $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$.

Найдем правую часть уравнения $-f(-|x|)$.

$f(-|x|) = \frac{(-|x|)^2}{-|x|-1} = \frac{|x|^2}{-(|x|+1)} = \frac{x^2}{-(|x|+1)}$.

Тогда $-f(-|x|)$ равно:

$-f(-|x|) = -\left(\frac{x^2}{-(|x|+1)}\right) = \frac{x^2}{|x|+1}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{x^2}{x-1} = \frac{x^2}{|x|+1}$.

Сразу проверим, является ли $x=0$ корнем. Подстановка дает $\frac{0}{-1} = \frac{0}{1}$, то есть $0=0$. Следовательно, $x=0$ является корнем уравнения.

Теперь рассмотрим случай, когда $x \neq 0$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{|x|+1}$.

Отсюда следует, что знаменатели должны быть равны:

$x-1 = |x|+1$.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x > 0$. (Случай $x=0$ уже рассмотрен)

При $x > 0$, $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x-1 = x+1$.

$-1 = 1$.

Это неверное равенство, следовательно, при $x>0$ корней нет.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$, $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x-1 = -x+1$.

$2x = 2$.

$x = 1$.

Этот корень не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому в этом случае также нет корней.

Единственным найденным корнем является $x=0$, который удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: 0.