Номер 11.31, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.31. Решите уравнение:

1) $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0;$

2) $2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0.$

1) $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$

Это симметричное (возвратное) уравнение четвертой степени. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x=0$ получаем $1=0$, что неверно. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2 \neq 0$.

$\frac{x^4}{x^2} - \frac{2x^3}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0$

$x^2 - 2x - 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Тогда $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим это в уравнение:

$(t^2 - 2) - 2t - 1 = 0$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 3$

$x + \frac{1}{x} = 3$

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = 3x$

$x^2 - 3x + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Случай 2: $t = -1$

$x + \frac{1}{x} = -1$

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = -x$

$x^2 + x + 1 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

2) $2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0$

Это также симметричное уравнение. Проверим, является ли $x=0$ корнем: $2 \cdot 0^4 + 3 \cdot 0^3 - 0^2 + 3 \cdot 0 + 2 = 2 \neq 0$. Значит, $x=0$ не является корнем, и мы можем разделить уравнение на $x^2$.

$\frac{2x^4}{x^2} + \frac{3x^3}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = 0$

$2x^2 + 3x - 1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

Применим ту же замену: $t = x + \frac{1}{x}$, из которой следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$2(t^2 - 2) + 3t - 1 = 0$

$2t^2 - 4 + 3t - 1 = 0$

$2t^2 + 3t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $t$. Найдем дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$

$t_1 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 1$

$x + \frac{1}{x} = 1$

$x^2 - x + 1 = 0$

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $t = -\frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$

Умножим на $2x$:

$2x^2 + 2 = -5x$

$2x^2 + 5x + 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; -\frac{1}{2}$.