Номер 11.30, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.30. Найдите наибольший корень уравнения

$\frac{24}{x^2 + 2x - 8} - \frac{15}{x^2 + 2x - 3} = 2.$

Исходное уравнение:

$$ \frac{24}{x^2 + 2x - 8} - \frac{15}{x^2 + 2x - 3} = 2 $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

1. $x^2 + 2x - 8 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -4$.

2. $x^2 + 2x - 3 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq -4$, $x \neq -3$, $x \neq 1$, $x \neq 2$.

Заметим, что в обоих знаменателях присутствует выражение $x^2 + 2x$. Введем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение примет вид:

$$ \frac{24}{t - 8} - \frac{15}{t - 3} = 2 $$

При этом, из ОДЗ следует, что $t \neq 8$ и $t \neq 3$.

Решим это уравнение относительно $t$. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{24(t - 3) - 15(t - 8)}{(t - 8)(t - 3)} = 2 $$

$$ \frac{24t - 72 - 15t + 120}{t^2 - 3t - 8t + 24} = 2 $$

$$ \frac{9t + 48}{t^2 - 11t + 24} = 2 $$

Умножим обе части на знаменатель, так как мы уже учли, что он не равен нулю:

$$ 9t + 48 = 2(t^2 - 11t + 24) $$

$$ 9t + 48 = 2t^2 - 22t + 48 $$

Перенесем все члены в правую часть:

$$ 2t^2 - 22t - 9t + 48 - 48 = 0 $$

$$ 2t^2 - 31t = 0 $$

Вынесем $t$ за скобки:

$$ t(2t - 31) = 0 $$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$ или $2t_2 - 31 = 0 \Rightarrow t_2 = \frac{31}{2} = 15.5$.

Оба значения $t$ удовлетворяют условиям $t \neq 8$ и $t \neq 3$.

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 0$.

$$ x^2 + 2x = 0 $$

$$ x(x + 2) = 0 $$

Получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $t = 15.5$.

$$ x^2 + 2x = 15.5 $$

$$ x^2 + 2x - 15.5 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15.5) = 4 + 62 = 66 $$

Найдем корни:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{66}}{2} $$

Получаем еще два корня: $x_3 = \frac{-2 + \sqrt{66}}{2}$ и $x_4 = \frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$. Эти корни являются иррациональными и не совпадают ни с одним из исключенных значений, поэтому они принадлежат ОДЗ.

Мы получили четыре корня: $0$, $-2$, $\frac{-2 + \sqrt{66}}{2}$, $\frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$.

Найдем наибольший из них. Сравним полученные корни.

Корни $x_2 = -2$ и $x_4 = \frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$ являются отрицательными.

Корень $x_1 = 0$.

Сравним $x_1 = 0$ и $x_3 = \frac{-2 + \sqrt{66}}{2}$.

Так как $8^2=64$ и $9^2=81$, то $8 < \sqrt{66} < 9$.

Следовательно, $-2 + \sqrt{66} > -2 + 8 = 6$, что является положительным числом. Значит, $\frac{-2 + \sqrt{66}}{2} > 0$.

Таким образом, наибольший корень уравнения это $\frac{-2 + \sqrt{66}}{2}$.

Ответ: $\frac{-2 + \sqrt{66}}{2}$