Номер 11.35, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.35.

1) $7(x + \frac{1}{x}) - 2(x^2 + \frac{1}{x^2}) = 9;$

2) $x^2 + \frac{4}{x^2} - 8 \cdot (x - \frac{2}{x}) = 4.$

1) $7\left(x + \frac{1}{x}\right) - 2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = 9$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Данное уравнение является симметрическим (возвратным). Для его решения введем новую переменную.

Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$:

$y^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Теперь подставим выражения для $y$ и $y^2 - 2$ в исходное уравнение:

$7y - 2(y^2 - 2) = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$7y - 2y^2 + 4 = 9$

$-2y^2 + 7y - 5 = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$2y^2 - 7y + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 1$

$x + \frac{1}{x} = 1$

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = x$

$x^2 - x + 1 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D_x = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D_x < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $y = \frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Дискриминант $D_x = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{2}; 2$.

2) $x^2 + \frac{4}{x^2} - 8\left(x - \frac{2}{x}\right) = 4$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Это уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $y = x - \frac{2}{x}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$y^2 = \left(x - \frac{2}{x}\right)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}$

Отсюда выразим $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 + 4$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(y^2 + 4) - 8y = 4$

Упростим уравнение:

$y^2 - 8y + 4 - 4 = 0$

$y^2 - 8y = 0$

Вынесем $y$ за скобку:

$y(y - 8) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$ или $y_2 = 8$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 0$

$x - \frac{2}{x} = 0$

Умножим на $x$:

$x^2 - 2 = 0$

$x^2 = 2$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$

Случай 2: $y = 8$

$x - \frac{2}{x} = 8$

Умножим на $x$:

$x^2 - 2 = 8x$

$x^2 - 8x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 64 + 8 = 72$

$\sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

$x_3 = \frac{8 - 6\sqrt{2}}{2} = 4 - 3\sqrt{2}$

$x_4 = \frac{8 + 6\sqrt{2}}{2} = 4 + 3\sqrt{2}$

Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}; 4 - 3\sqrt{2}; 4 + 3\sqrt{2}$.