Номер 11.28, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.28. 1) Найдите наименьшее целое значение $a$, при котором уравнение $x^2 - 2(a + 2)x + 12 + a^2 = 0$ имеет два различных действительных корня.

2) При каком значении $a$ квадратное уравнение $ax^2 - (a + 1)x + 2a - 1 = 0$ имеет один корень?

1) Данное уравнение $x^2 - 2(a + 2)x + 12 + a^2 = 0$ является квадратным уравнением вида $Ax^2+Bx+C=0$. Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля. Вычислим дискриминант, где коэффициенты $A=1$, $B=-2(a+2)$, $C=12+a^2$. $D = B^2 - 4AC = (-2(a+2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12+a^2) = 4(a+2)^2 - 4(12+a^2)$. Раскроем скобки: $D = 4(a^2 + 4a + 4) - 48 - 4a^2 = 4a^2 + 16a + 16 - 48 - 4a^2 = 16a - 32$. Условие наличия двух различных действительных корней — это $D > 0$. $16a - 32 > 0$ $16a > 32$ $a > 2$ Требуется найти наименьшее целое значение $a$, которое удовлетворяет полученному неравенству. Наименьшим целым числом, которое больше 2, является 3. Ответ: 3

2) Рассмотрим уравнение $ax^2 - (a + 1)x + 2a - 1 = 0$. Это уравнение имеет ровно один корень в двух случаях:
1. Если уравнение является линейным, то есть старший коэффициент при $x^2$ равен нулю.
2. Если уравнение является квадратным, но его дискриминант равен нулю.
Рассмотрим первый случай. При $a=0$ уравнение превращается в линейное: $0 \cdot x^2 - (0 + 1)x + 2 \cdot 0 - 1 = 0$ $-x - 1 = 0$ $x = -1$ Уравнение имеет один корень, следовательно, $a=0$ является одним из искомых значений.
Рассмотрим второй случай. Если $a \neq 0$, уравнение является квадратным. Оно будет иметь один корень, если его дискриминант $D$ равен нулю. Вычислим дискриминант $D = B^2 - 4AC$, где коэффициенты $A=a$, $B=-(a+1)$, $C=2a-1$. $D = (-(a+1))^2 - 4 \cdot a \cdot (2a-1) = (a+1)^2 - 4a(2a-1)$. $D = (a^2 + 2a + 1) - (8a^2 - 4a) = a^2 + 2a + 1 - 8a^2 + 4a = -7a^2 + 6a + 1$. Приравняем дискриминант к нулю: $-7a^2 + 6a + 1 = 0$ Умножим уравнение на -1: $7a^2 - 6a - 1 = 0$ Решим это квадратное уравнение относительно $a$. Дискриминант для этого уравнения $D_a = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$. $a_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$. $a_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$. Оба значения, $a=1$ и $a=-\frac{1}{7}$, не равны нулю, поэтому они являются решениями.
Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, находим все значения $a$. Ответ: $a \in \{-\frac{1}{7}; 0; 1\}$.