Номер 11.23, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.23. 1) $\frac{x-2}{x+3} - \frac{6(x+3)}{x-2} = 1;$

2) $\frac{x+2}{x-3} - \frac{2(x-3)}{x+2} = 1;$

3) $\frac{x-1}{x+2} + \frac{3(x+2)}{x-1} = 4;$

4) $\frac{x-3,4}{x+3} - \frac{8(x+3)}{x-3,4} = 2.$

1) $\frac{x-2}{x+3} - \frac{6(x+3)}{x-2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$ и $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \frac{x-2}{x+3}$. Тогда $\frac{x+3}{x-2} = \frac{1}{y}$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y - \frac{6}{y} = 1$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$):

$y^2 - 6 = y$

$y^2 - y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$ с помощью теоремы Виета:

$y_1 + y_2 = 1$

$y_1 \cdot y_2 = -6$

Корни уравнения: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $y_1 = 3$

$\frac{x-2}{x+3} = 3$

$x - 2 = 3(x + 3)$

$x - 2 = 3x + 9$

$2x = -11$

$x_1 = -5,5$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y_2 = -2$

$\frac{x-2}{x+3} = -2$

$x - 2 = -2(x + 3)$

$x - 2 = -2x - 6$

$3x = -4$

$x_2 = -\frac{4}{3}$

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-5,5; -\frac{4}{3}$.

2) $\frac{x+2}{x-3} - \frac{2(x-3)}{x+2} = 1$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \frac{x+2}{x-3}$. Тогда $\frac{x-3}{x+2} = \frac{1}{y}$.

Уравнение примет вид:

$y - \frac{2}{y} = 1$

Умножим на $y \neq 0$:

$y^2 - 2 = y$

$y^2 - y - 2 = 0$

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 1$

$y_1 \cdot y_2 = -2$

Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = 2$

$\frac{x+2}{x-3} = 2$

$x + 2 = 2(x - 3)$

$x + 2 = 2x - 6$

$x_1 = 8$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y_2 = -1$

$\frac{x+2}{x-3} = -1$

$x + 2 = -(x - 3)$

$x + 2 = -x + 3$

$2x = 1$

$x_2 = 0,5$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $8; 0,5$.

3) $\frac{x-1}{x+2} + \frac{3(x+2)}{x-1} = 4$

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$ и $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \frac{x-1}{x+2}$. Тогда $\frac{x+2}{x-1} = \frac{1}{y}$.

Подставим в уравнение:

$y + \frac{3}{y} = 4$

Умножим на $y \neq 0$:

$y^2 + 3 = 4y$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 4$

$y_1 \cdot y_2 = 3$

Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = 1$

$\frac{x-1}{x+2} = 1$

$x - 1 = x + 2$

$-1 = 2$

Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $y_2 = 3$

$\frac{x-1}{x+2} = 3$

$x - 1 = 3(x + 2)$

$x - 1 = 3x + 6$

$2x = -7$

$x = -3,5$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3,5$.

4) $\frac{x-3,4}{x+3} - \frac{8(x+3)}{x-3,4} = 2$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$ и $x-3,4 \neq 0 \implies x \neq 3,4$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \frac{x-3,4}{x+3}$. Тогда $\frac{x+3}{x-3,4} = \frac{1}{y}$.

Уравнение примет вид:

$y - \frac{8}{y} = 2$

Умножим на $y \neq 0$:

$y^2 - 8 = 2y$

$y^2 - 2y - 8 = 0$

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 2$

$y_1 \cdot y_2 = -8$

Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = 4$

$\frac{x-3,4}{x+3} = 4$

$x - 3,4 = 4(x + 3)$

$x - 3,4 = 4x + 12$

$3x = -15,4$

$x_1 = -\frac{15,4}{3} = -\frac{154}{30} = -\frac{77}{15}$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y_2 = -2$

$\frac{x-3,4}{x+3} = -2$

$x - 3,4 = -2(x + 3)$

$x - 3,4 = -2x - 6$

$3x = -6 + 3,4$

$3x = -2,6$

$x_2 = -\frac{2,6}{3} = -\frac{26}{30} = -\frac{13}{15}$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{77}{15}; -\frac{13}{15}$.