Номер 11.24, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.24. 1) $\sqrt{\frac{x+5}{x}} + \sqrt{\frac{x}{x+5}} = 2;$

2) $\sqrt{\frac{x+4}{x}} + 9\sqrt{\frac{x}{x+4}} = 6;$

3) $\sqrt{\frac{x-3}{2x}} + 10 = -25\sqrt{\frac{2x}{x-3}}.$

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x+5}{x}} + \sqrt{\frac{x}{x+5}} = 2$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатели дробей не должны равняться нулю. Следовательно, оба подкоренных выражения должны быть строго положительными:$\frac{x+5}{x} > 0$ и $\frac{x}{x+5} > 0$.Эти два неравенства равносильны. Решим первое из них методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = -5$ и $x = 0$. Они разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 0)$ и $(0, \infty)$.Проверяя знак дроби в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -5) \cup (0, \infty)$. Это и есть ОДЗ.
Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{\frac{x+5}{x}}$.Поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, и в нашей ОДЗ подкоренное выражение строго положительно, то $y > 0$.
Тогда второй член уравнения можно выразить через $y$: $\sqrt{\frac{x}{x+5}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{x+5}{x}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x+5}{x}}} = \frac{1}{y}$.
Уравнение принимает вид:$y + \frac{1}{y} = 2$.
Умножим обе части уравнения на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$):$y^2 + 1 = 2y$
$y^2 - 2y + 1 = 0$
$(y-1)^2 = 0$
Отсюда $y = 1$.
Полученное значение $y=1$ удовлетворяет условию $y > 0$.
Теперь выполним обратную замену:$\sqrt{\frac{x+5}{x}} = 1$
Возведем обе части в квадрат:$\frac{x+5}{x} = 1$
$x+5 = x$
$5 = 0$
Мы получили неверное равенство. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x+4}{x}} + 9\sqrt{\frac{x}{x+4}} = 6$.
Найдем ОДЗ. Аналогично предыдущему пункту, подкоренные выражения должны быть строго положительными:$\frac{x+4}{x} > 0$.
Решая это неравенство методом интервалов (корни $x=-4$ и $x=0$), получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.
Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x+4}{x}}$. Учитывая ОДЗ, имеем $y > 0$.
Тогда $\sqrt{\frac{x}{x+4}} = \frac{1}{y}$.
Подставим замену в уравнение:$y + 9 \cdot \frac{1}{y} = 6$
$y + \frac{9}{y} = 6$
Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):$y^2 + 9 = 6y$
$y^2 - 6y + 9 = 0$
Это формула квадрата разности: $(y-3)^2 = 0$.
Отсюда $y = 3$.
Это значение удовлетворяет условию $y > 0$.
Выполним обратную замену:$\sqrt{\frac{x+4}{x}} = 3$
Возведем обе части в квадрат:$\frac{x+4}{x} = 3^2$
$\frac{x+4}{x} = 9$
$x+4 = 9x$
$8x = 4$
$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Проверим, входит ли найденное значение в ОДЗ. $x = \frac{1}{2}$ принадлежит интервалу $(0, \infty)$, следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3)

Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x-3}{2x}} + 10 = -25\sqrt{\frac{2x}{x-3}}$.
Найдем ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть строго положительными:$\frac{x-3}{2x} > 0$.
Решая неравенство методом интервалов (корни $x=3$ и $x=0$), получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x-3}{2x}}$. Из определения корня и ОДЗ следует, что $y > 0$.
Тогда $\sqrt{\frac{2x}{x-3}} = \frac{1}{y}$.
Подставим замену в исходное уравнение:$y + 10 = -25 \cdot \frac{1}{y}$
Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):$y(y + 10) = -25$
$y^2 + 10y = -25$
$y^2 + 10y + 25 = 0$
Это формула квадрата суммы: $(y+5)^2 = 0$.
Отсюда $y+5 = 0$, то есть $y = -5$.
Полученное значение $y = -5$ противоречит условию замены $y > 0$. Следовательно, уравнение для $y$ не имеет решений, удовлетворяющих этому условию, а значит, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.