Номер 11.19, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.19.1) $(x+2)^4 + 2x^2 + 8x - 16 = 0$; 2) $(x-1)^4 - x^2 + 2x - 73 = 0$.

1) Дано уравнение $(x + 2)^4 + 2x^2 + 8x - 16 = 0$.

Заметим, что свободные члены можно сгруппировать, чтобы выделить выражение, похожее на $(x+2)^2$. Вынесем $2$ за скобки в членах $2x^2 + 8x$:

$2x^2 + 8x - 16 = 2(x^2 + 4x) - 16$.

Рассмотрим квадрат выражения $(x+2)$: $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$. Отсюда можно выразить $x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(x + 2)^4 + 2((x+2)^2 - 4) - 16 = 0$

$(x + 2)^4 + 2(x+2)^2 - 8 - 16 = 0$

$(x + 2)^4 + 2(x+2)^2 - 24 = 0$

Получилось биквадратное уравнение относительно $(x+2)$. Введем замену: пусть $y = (x+2)^2$. Поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 + 2y - 24 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 10}{2}$

$y_1 = \frac{-2 + 10}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-2 - 10}{2} = -6$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 4$ подходит, так как $4 \ge 0$.

Корень $y_2 = -6$ не подходит, так как $-6 < 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя подходящий корень $y=4$.

$(x+2)^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:

1. $x + 2 = 2 \implies x_1 = 0$

2. $x + 2 = -2 \implies x_2 = -4$

Ответ: $-4; 0$.

2) Дано уравнение $(x - 1)^4 - x^2 + 2x - 73 = 0$.

Сгруппируем члены $-x^2 + 2x$, чтобы выделить выражение, связанное с $(x-1)^2$.

$-x^2 + 2x - 73 = -(x^2 - 2x) - 73$.

Рассмотрим квадрат выражения $(x-1)$: $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$. Отсюда $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$.

Подставим это выражение в уравнение:

$(x - 1)^4 - ((x-1)^2 - 1) - 73 = 0$

$(x - 1)^4 - (x-1)^2 + 1 - 73 = 0$

$(x - 1)^4 - (x-1)^2 - 72 = 0$

Получилось биквадратное уравнение относительно $(x-1)$. Введем замену: пусть $z = (x-1)^2$. Так как $z$ является квадратом действительного числа, $z \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$z^2 - z - 72 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 17}{2}$

$z_1 = \frac{1 + 17}{2} = 9$

$z_2 = \frac{1 - 17}{2} = -8$

Проверим корни на соответствие условию $z \ge 0$.

Корень $z_1 = 9$ подходит, так как $9 \ge 0$.

Корень $z_2 = -8$ не подходит, так как $-8 < 0$.

Вернемся к переменной $x$, используя корень $z=9$.

$(x-1)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:

1. $x - 1 = 3 \implies x_1 = 4$

2. $x - 1 = -3 \implies x_2 = -2$

Ответ: $-2; 4$.