Номер 11.16, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.16. 1) $x - 8 = 2\sqrt{x}$;

2) $x - 2\sqrt{x} = 35.$

1) Решим уравнение $x - 8 = 2\sqrt{x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. Кроме того, правая часть уравнения, $2\sqrt{x}$, является неотрицательной, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $x - 8 \ge 0$, откуда $x \ge 8$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 8$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $x - 2\sqrt{x} - 8 = 0$.

Это уравнение можно свести к квадратному с помощью замены переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $x \ge 0$, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Остается один корень $t = 4$. Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 4^2 = 16$

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 8$). Поскольку $16 \ge 8$, корень подходит.
Ответ: 16.

2) Решим уравнение $x - 2\sqrt{x} = 35$.

Перепишем уравнение в виде $x - 2\sqrt{x} - 35 = 0$.

Определим ОДЗ. Из-за наличия $\sqrt{x}$, должно выполняться условие $x \ge 0$. Также из исходного уравнения $x - 35 = 2\sqrt{x}$ следует, что $x - 35 \ge 0$, то есть $x \ge 35$. Таким образом, ОДЗ: $x \ge 35$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставляем в уравнение:

$t^2 - 2t - 35 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 = 12^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 12}{2} = 7$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 12}{2} = -5$

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его как посторонний.

Используем корень $t = 7$ и делаем обратную замену:

$\sqrt{x} = 7$

Возводим обе части в квадрат:

$x = 7^2 = 49$

Проверим найденный корень на соответствие ОДЗ ($x \ge 35$). Так как $49 \ge 35$, корень является решением уравнения.
Ответ: 49.