Номер 11.11, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Способом введения новой переменной решите уравнения (11.11–11.12):

11.11. 1) $(x + 1)^2(x^2 + 2x) = 12;$

2) $(x - 2)^2(x^2 - 4x) + 3 = 0;$

3) $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 3) + 1 = 0;$

4) $(x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x - 1) = 28.$

1) В уравнении $(x + 1)^2(x^2 + 2x) = 12$ раскроем первую скобку, используя формулу квадрата суммы: $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$. Уравнение примет вид: $(x^2 + 2x + 1)(x^2 + 2x) = 12$. Заметим, что в уравнении несколько раз встречается выражение $x^2 + 2x$. Введем новую переменную: пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде $(t + 1)t = 12$. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $t^2 + t - 12 = 0$. По теореме Виета, его корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$. Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.
1. При $t = 3$ получаем уравнение $x^2 + 2x = 3$, или $x^2 + 2x - 3 = 0$. Его корни (по теореме Виета) $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
2. При $t = -4$ получаем уравнение $x^2 + 2x = -4$, или $x^2 + 2x + 4 = 0$. Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни из первого случая.
Ответ: $1; -3$.

2) В уравнении $(x - 2)^2(x^2 - 4x) + 3 = 0$ раскроем первую скобку: $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$. Уравнение примет вид: $(x^2 - 4x + 4)(x^2 - 4x) + 3 = 0$. Введем новую переменную: пусть $t = x^2 - 4x$. Подставим $t$ в уравнение: $(t + 4)t + 3 = 0$. Раскроем скобки: $t^2 + 4t + 3 = 0$. Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета) $t_1 = -1$ и $t_2 = -3$. Выполним обратную замену.
1. При $t = -1$ получаем уравнение $x^2 - 4x = -1$, или $x^2 - 4x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. Корни уравнения: $x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. То есть $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.
2. При $t = -3$ получаем уравнение $x^2 - 4x = -3$, или $x^2 - 4x + 3 = 0$. Его корни (по теореме Виета) $x_3 = 1$ и $x_4 = 3$.
Ответ: $1; 3; 2 + \sqrt{3}; 2 - \sqrt{3}$.

3) В уравнении $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 3) + 1 = 0$ введем новую переменную для повторяющегося выражения: пусть $t = x^2 + 3x$. Тогда уравнение можно переписать в виде $(t + 1)(t + 3) + 1 = 0$. Раскроем скобки и упростим: $t^2 + 3t + t + 3 + 1 = 0$, что дает $t^2 + 4t + 4 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(t + 2)^2 = 0$. Отсюда следует, что $t + 2 = 0$, то есть $t = -2$. Выполним обратную замену: $x^2 + 3x = -2$. Перенесем все в левую часть: $x^2 + 3x + 2 = 0$. Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета) $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $-1; -2$.

4) В уравнении $(x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x - 1) = 28$ введем новую переменную для повторяющегося выражения: пусть $t = x^2 - 5x$. Тогда уравнение можно переписать в виде $(t + 2)(t - 1) = 28$. Раскроем скобки и упростим: $t^2 - t + 2t - 2 = 28$, что дает $t^2 + t - 30 = 0$. Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета) $t_1 = 5$ и $t_2 = -6$. Выполним обратную замену.
1. При $t = 5$ получаем уравнение $x^2 - 5x = 5$, или $x^2 - 5x - 5 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 25 + 20 = 45$. Корни уравнения: $x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.
2. При $t = -6$ получаем уравнение $x^2 - 5x = -6$, или $x^2 - 5x + 6 = 0$. Его корни (по теореме Виета) $x_3 = 2$ и $x_4 = 3$.
Ответ: $2; 3; \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}; \frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}$.