Номер 11.8, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.8. Решите уравнение с параметром:

1) $x^4 - (a^2 + 9)x^2 + 9a^2 = 0;$

2) $x^4 - (9a^2 + 4)x^2 + 36a^2 = 0.$

1) Дано биквадратное уравнение $x^4 - (a^2 + 9)x^2 + 9a^2 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - (a^2 + 9)t + 9a^2 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = a^2 + 9$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 9a^2$. Методом подбора находим корни: $t_1 = a^2$ и $t_2 = 9$.

Проверим оба корня на условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = a^2 \ge 0$ при любом значении параметра $a$. Корень $t_2 = 9 > 0$ также удовлетворяет условию.

Теперь выполним обратную замену $x^2 = t$ для каждого из найденных корней:

1. $x^2 = t_1 = a^2 \implies x = \pm \sqrt{a^2} = \pm a$.

2. $x^2 = t_2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$.

Таким образом, множество всех корней исходного уравнения — это $\{\pm a; \pm 3\}$. Проанализируем количество различных корней в зависимости от значения параметра $a$.

• Если $a = 0$, то корни $x = \pm 0$ и $x = \pm 3$. Получаем 3 различных корня: $\{-3, 0, 3\}$.

• Если корни совпадают, то есть $\pm a = \pm 3$, что эквивалентно $|a| = 3$, или $a = \pm 3$. В этом случае множество корней состоит из двух различных чисел: $\{-3, 3\}$.

• Во всех остальных случаях, то есть при $a \ne 0$ и $a \ne \pm 3$, уравнение имеет 4 различных корня: $a, -a, 3, -3$.

Ответ: если $a=0$, то $x \in \{0; \pm 3\}$; если $a=\pm 3$, то $x \in \{\pm 3\}$; если $a \ne 0$ и $a \ne \pm 3$, то $x \in \{\pm a; \pm 3\}$.

2) Дано биквадратное уравнение $x^4 - (9a^2 + 4)x^2 + 36a^2 = 0$.

Аналогично первому пункту, сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - (9a^2 + 4)t + 36a^2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $t_1+t_2 = 9a^2+4$ и произведение $t_1 \cdot t_2 = 36a^2$. Отсюда находим корни: $t_1 = 9a^2$ и $t_2 = 4$.

Оба корня являются неотрицательными для любого значения $a$, так как $9a^2 \ge 0$ и $4 > 0$, следовательно, они оба допустимы.

Выполним обратную замену $x^2 = t$:

1. $x^2 = t_1 = 9a^2 \implies x = \pm \sqrt{9a^2} = \pm 3|a|$.

2. $x^2 = t_2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$.

Множество всех корней уравнения — это $\{\pm 3|a|; \pm 2\}$. Проанализируем количество различных корней.

• Если $a=0$, то $3|a|=0$. Корни становятся $x=0$ и $x=\pm 2$. Получаем 3 различных корня: $\{-2, 0, 2\}$.

• Если корни совпадают, то есть $\pm 3|a| = \pm 2$, что эквивалентно $3|a| = 2$, или $|a| = 2/3$. Это происходит при $a = \pm 2/3$. В этом случае множество корней состоит из двух различных чисел: $\{-2, 2\}$.

• Во всех остальных случаях, когда $a \ne 0$ и $a \ne \pm 2/3$, уравнение имеет 4 различных корня: $3|a|, -3|a|, 2, -2$. Запись корней как $\pm 3a$ также корректна, так как множество $\{\pm 3a\}$ совпадает с $\{\pm 3|a|\}$.

Ответ: если $a=0$, то $x \in \{0; \pm 2\}$; если $a=\pm 2/3$, то $x \in \{\pm 2\}$; если $a \ne 0$ и $a \ne \pm 2/3$, то $x \in \{\pm 3a; \pm 2\}$.