Страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.8. Решите уравнение с параметром:

1) $x^4 - (a^2 + 9)x^2 + 9a^2 = 0;$

2) $x^4 - (9a^2 + 4)x^2 + 36a^2 = 0.$

1) Дано биквадратное уравнение $x^4 - (a^2 + 9)x^2 + 9a^2 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - (a^2 + 9)t + 9a^2 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = a^2 + 9$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 9a^2$. Методом подбора находим корни: $t_1 = a^2$ и $t_2 = 9$.

Проверим оба корня на условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = a^2 \ge 0$ при любом значении параметра $a$. Корень $t_2 = 9 > 0$ также удовлетворяет условию.

Теперь выполним обратную замену $x^2 = t$ для каждого из найденных корней:

1. $x^2 = t_1 = a^2 \implies x = \pm \sqrt{a^2} = \pm a$.

2. $x^2 = t_2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$.

Таким образом, множество всех корней исходного уравнения — это $\{\pm a; \pm 3\}$. Проанализируем количество различных корней в зависимости от значения параметра $a$.

• Если $a = 0$, то корни $x = \pm 0$ и $x = \pm 3$. Получаем 3 различных корня: $\{-3, 0, 3\}$.

• Если корни совпадают, то есть $\pm a = \pm 3$, что эквивалентно $|a| = 3$, или $a = \pm 3$. В этом случае множество корней состоит из двух различных чисел: $\{-3, 3\}$.

• Во всех остальных случаях, то есть при $a \ne 0$ и $a \ne \pm 3$, уравнение имеет 4 различных корня: $a, -a, 3, -3$.

Ответ: если $a=0$, то $x \in \{0; \pm 3\}$; если $a=\pm 3$, то $x \in \{\pm 3\}$; если $a \ne 0$ и $a \ne \pm 3$, то $x \in \{\pm a; \pm 3\}$.

2) Дано биквадратное уравнение $x^4 - (9a^2 + 4)x^2 + 36a^2 = 0$.

Аналогично первому пункту, сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - (9a^2 + 4)t + 36a^2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $t_1+t_2 = 9a^2+4$ и произведение $t_1 \cdot t_2 = 36a^2$. Отсюда находим корни: $t_1 = 9a^2$ и $t_2 = 4$.

Оба корня являются неотрицательными для любого значения $a$, так как $9a^2 \ge 0$ и $4 > 0$, следовательно, они оба допустимы.

Выполним обратную замену $x^2 = t$:

1. $x^2 = t_1 = 9a^2 \implies x = \pm \sqrt{9a^2} = \pm 3|a|$.

2. $x^2 = t_2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$.

Множество всех корней уравнения — это $\{\pm 3|a|; \pm 2\}$. Проанализируем количество различных корней.

• Если $a=0$, то $3|a|=0$. Корни становятся $x=0$ и $x=\pm 2$. Получаем 3 различных корня: $\{-2, 0, 2\}$.

• Если корни совпадают, то есть $\pm 3|a| = \pm 2$, что эквивалентно $3|a| = 2$, или $|a| = 2/3$. Это происходит при $a = \pm 2/3$. В этом случае множество корней состоит из двух различных чисел: $\{-2, 2\}$.

• Во всех остальных случаях, когда $a \ne 0$ и $a \ne \pm 2/3$, уравнение имеет 4 различных корня: $3|a|, -3|a|, 2, -2$. Запись корней как $\pm 3a$ также корректна, так как множество $\{\pm 3a\}$ совпадает с $\{\pm 3|a|\}$.

Ответ: если $a=0$, то $x \in \{0; \pm 2\}$; если $a=\pm 2/3$, то $x \in \{\pm 2\}$; если $a \ne 0$ и $a \ne \pm 2/3$, то $x \in \{\pm 3a; \pm 2\}$.

11.9. С помощью способа разложения на множители решите уравнение:

1) $\frac{x - 2}{x^3} = 2x - x^2;$

2) $\frac{x^2 - 2x - 3}{x^2} = 2x - 6;$

3) $\frac{8x - 4x^2}{1 - x^2} = \frac{x^3 - 4x}{x + 1};$

4) $\frac{x^2 - x - 2}{x - 3} = \frac{2x - 4}{x^2 - 3x}.$

1) $\frac{x-2}{x^3} = 2x - x^2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\frac{x-2}{x^3} - (2x - x^2) = 0$

В выражении $2x - x^2$ вынесем за скобки $-x$: $2x - x^2 = -x(x-2)$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{x-2}{x^3} + x(x - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)\left(\frac{1}{x^3} + x\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Получаем два случая:

а) $x-2=0 \implies x=2$. Данный корень входит в ОДЗ ($2 \neq 0$).

б) $\frac{1}{x^3} + x = 0$. Так как по ОДЗ $x \neq 0$, умножим обе части на $x^3$:

$1 + x^4 = 0$

$x^4 = -1$.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 2.

2) $\frac{x^2 - 2x - 3}{x^2} = 2x - 6$

ОДЗ: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.

Разложим на множители числитель левой части и выражение в правой части. Для числителя $x^2 - 2x - 3$ найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=3, x_2=-1$. Значит, $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$. В правой части вынесем 2 за скобки: $2x-6 = 2(x-3)$.

Исходное уравнение примет вид:

$\frac{(x-3)(x+1)}{x^2} = 2(x-3)$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{(x-3)(x+1)}{x^2} - 2(x-3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:

$(x-3)\left(\frac{x+1}{x^2} - 2\right) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $x-3=0 \implies x=3$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq 0$).

б) $\frac{x+1}{x^2} - 2 = 0$.

$\frac{x+1}{x^2} = 2$. Умножим на $x^2$ (т.к. $x \neq 0$):

$x+1 = 2x^2$

$2x^2 - x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1+8=9$.

Корни: $x_1 = \frac{1+\sqrt{9}}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$; $x_2 = \frac{1-\sqrt{9}}{4} = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Оба корня, $1$ и $-\frac{1}{2}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -0,5; 1; 3.

3) $\frac{8x - 4x^2}{1 - x^2} = \frac{x^3 - 4x}{x + 1}$

ОДЗ: $1 - x^2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Так как $1-x^2 = (1-x)(1+x)$, то условие $1-x^2 \neq 0$ означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Условие $x+1 \neq 0$ уже включено. Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Разложим на множители выражения в уравнении:

$\frac{4x(2 - x)}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{x(x^2 - 4)}{x + 1}$

$\frac{-4x(x - 2)}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x + 1}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{-4x(x - 2)}{(1 - x)(1 + x)} - \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x + 1} = 0$

Вынесем общие множители $x$ и $(x-2)$ за скобки:

$x(x-2)\left(\frac{-4}{(1-x)(1+x)} - \frac{x+2}{x+1}\right) = 0$

Получаем три случая:

а) $x=0$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq \pm 1$).

б) $x-2=0 \implies x=2$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \neq \pm 1$).

в) $\frac{-4}{(1-x)(1+x)} - \frac{x+2}{x+1} = 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(1-x)(1+x)$:

$\frac{-4 - (x+2)(1-x)}{(1-x)(1+x)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что выполняется по ОДЗ).

$-4 - (x+2)(1-x) = 0$

$-4 - (x - x^2 + 2 - 2x) = 0$

$-4 - (-x^2 - x + 2) = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1=2, x_2=-3$.

Корень $x=2$ уже найден. Корень $x=-3$ удовлетворяет ОДЗ ($-3 \neq \pm 1$).

Ответ: -3; 0; 2.

4) $\frac{x^2 - x - 2}{x - 3} = \frac{2x - 4}{x^2 - 3x}$

ОДЗ: $x - 3 \neq 0$ и $x^2 - 3x \neq 0$. Выражение $x^2-3x = x(x-3)$, поэтому $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Итак, ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 3$.

Разложим на множители выражения в уравнении:

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

$2x - 4 = 2(x-2)$

$x^2-3x = x(x-3)$

Уравнение принимает вид:

$\frac{(x-2)(x+1)}{x-3} = \frac{2(x-2)}{x(x-3)}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{(x-2)(x+1)}{x-3} - \frac{2(x-2)}{x(x-3)} = 0$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)\left(\frac{x+1}{x-3} - \frac{2}{x(x-3)}\right) = 0$

Получаем два случая:

а) $x-2=0 \implies x=2$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \neq 0, 2 \neq 3$).

б) $\frac{x+1}{x-3} - \frac{2}{x(x-3)} = 0$.

Приведем к общему знаменателю $x(x-3)$:

$\frac{x(x+1) - 2}{x(x-3)} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет.

$x(x+1) - 2 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1=1, x_2=-2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($1 \neq 0, 1 \neq 3$ и $-2 \neq 0, -2 \neq 3$).

Ответ: -2; 1; 2.

11.10. Найдите сумму квадратов корней уравнения:

1) $x^2 + 2\vert x \vert - 1 = 0;$

2) $x^2 - 4\vert x \vert - 1 = 0.$

1) $x^2 + 2|x| - 1 = 0$

Данное уравнение содержит переменную под знаком модуля. Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Это позволяет сделать замену переменной, чтобы упростить уравнение.

Пусть $t = |x|$. Поскольку модуль любого числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 + 2t - 1 = 0$.

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$.

Корни для $t$ равны:

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2(1)} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

Мы получили два возможных значения для $t$:

$t_1 = -1 + \sqrt{2}$

$t_2 = -1 - \sqrt{2}$

Теперь проверим условие $t \ge 0$.

Корень $t_1 = \sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$. Так как $\sqrt{2} > 1$, то $t_1 > 0$, следовательно, этот корень является допустимым.

Корень $t_2 = -1 - \sqrt{2}$ очевидно меньше нуля, поэтому он не удовлетворяет условию $t \ge 0$ и является посторонним.

Итак, у нас есть единственное подходящее решение для $t$: $t_0 = \sqrt{2} - 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$, решив уравнение $|x| = t_0$:

$|x| = \sqrt{2} - 1$.

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{2} - 1$ и $x_2 = -(\sqrt{2} - 1) = 1 - \sqrt{2}$.

Требуется найти сумму квадратов этих корней, то есть $x_1^2 + x_2^2$.

Так как $x^2 = |x|^2 = t_0^2$ для обоих корней, то $x_1^2 = (\sqrt{2} - 1)^2$ и $x_2^2 = (1 - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{2} - 1)^2$.

Сумма квадратов равна $x_1^2 + x_2^2 = 2 \cdot (\sqrt{2} - 1)^2$.

Вычислим значение выражения:

$2 \cdot ((\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) = 2 \cdot (2 - 2\sqrt{2} + 1) = 2 \cdot (3 - 2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2}$.

Можно было также использовать тот факт, что $t_0$ является корнем уравнения $t^2 + 2t - 1 = 0$, откуда $t_0^2 = 1 - 2t_0$. Тогда сумма квадратов равна $2t_0^2 = 2(1 - 2t_0) = 2 - 4t_0 = 2 - 4(\sqrt{2}-1) = 2 - 4\sqrt{2} + 4 = 6 - 4\sqrt{2}$.

Ответ: $6 - 4\sqrt{2}$

2) $x^2 - 4|x| - 1 = 0$

Это уравнение также решается с помощью замены переменной. Как и в предыдущем случае, положим $t = |x|$, где $t \ge 0$. Уравнение преобразуется к виду:

$t^2 - 4t - 1 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$.

Корни для $t$ равны:

$t = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = 2 + \sqrt{5}$

$t_2 = 2 - \sqrt{5}$

Проверим условие $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2 + \sqrt{5}$ является положительным числом, поэтому он подходит.

Корень $t_2 = 2 - \sqrt{5} \approx 2 - 2.236 < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Следовательно, единственное допустимое значение для $t$ это $t_0 = 2 + \sqrt{5}$.

Возвращаемся к переменной $x$ из уравнения $|x| = t_0$:

$|x| = 2 + \sqrt{5}$.

Корнями исходного уравнения являются $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ и $x_2 = -(2 + \sqrt{5})$.

Найдем сумму их квадратов: $x_1^2 + x_2^2$.

Так как $x_1^2 = |x_1|^2 = t_0^2$ и $x_2^2 = |x_2|^2 = t_0^2$, то искомая сумма равна $2t_0^2$.

Поскольку $t_0$ является корнем уравнения $t^2 - 4t - 1 = 0$, то для него справедливо равенство $t_0^2 - 4t_0 - 1 = 0$, откуда $t_0^2 = 4t_0 + 1$.

Подставим это выражение в формулу для суммы квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 = 2t_0^2 = 2(4t_0 + 1) = 8t_0 + 2$.

Теперь подставим численное значение $t_0 = 2 + \sqrt{5}$:

$8(2 + \sqrt{5}) + 2 = 16 + 8\sqrt{5} + 2 = 18 + 8\sqrt{5}$.

Ответ: $18 + 8\sqrt{5}$

Способом введения новой переменной решите уравнения (11.11–11.12):

11.11. 1) $(x + 1)^2(x^2 + 2x) = 12;$

2) $(x - 2)^2(x^2 - 4x) + 3 = 0;$

3) $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 3) + 1 = 0;$

4) $(x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x - 1) = 28.$

1) В уравнении $(x + 1)^2(x^2 + 2x) = 12$ раскроем первую скобку, используя формулу квадрата суммы: $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$. Уравнение примет вид: $(x^2 + 2x + 1)(x^2 + 2x) = 12$. Заметим, что в уравнении несколько раз встречается выражение $x^2 + 2x$. Введем новую переменную: пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде $(t + 1)t = 12$. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $t^2 + t - 12 = 0$. По теореме Виета, его корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$. Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.
1. При $t = 3$ получаем уравнение $x^2 + 2x = 3$, или $x^2 + 2x - 3 = 0$. Его корни (по теореме Виета) $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
2. При $t = -4$ получаем уравнение $x^2 + 2x = -4$, или $x^2 + 2x + 4 = 0$. Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни из первого случая.
Ответ: $1; -3$.

2) В уравнении $(x - 2)^2(x^2 - 4x) + 3 = 0$ раскроем первую скобку: $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$. Уравнение примет вид: $(x^2 - 4x + 4)(x^2 - 4x) + 3 = 0$. Введем новую переменную: пусть $t = x^2 - 4x$. Подставим $t$ в уравнение: $(t + 4)t + 3 = 0$. Раскроем скобки: $t^2 + 4t + 3 = 0$. Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета) $t_1 = -1$ и $t_2 = -3$. Выполним обратную замену.
1. При $t = -1$ получаем уравнение $x^2 - 4x = -1$, или $x^2 - 4x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. Корни уравнения: $x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. То есть $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.
2. При $t = -3$ получаем уравнение $x^2 - 4x = -3$, или $x^2 - 4x + 3 = 0$. Его корни (по теореме Виета) $x_3 = 1$ и $x_4 = 3$.
Ответ: $1; 3; 2 + \sqrt{3}; 2 - \sqrt{3}$.

3) В уравнении $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 3) + 1 = 0$ введем новую переменную для повторяющегося выражения: пусть $t = x^2 + 3x$. Тогда уравнение можно переписать в виде $(t + 1)(t + 3) + 1 = 0$. Раскроем скобки и упростим: $t^2 + 3t + t + 3 + 1 = 0$, что дает $t^2 + 4t + 4 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(t + 2)^2 = 0$. Отсюда следует, что $t + 2 = 0$, то есть $t = -2$. Выполним обратную замену: $x^2 + 3x = -2$. Перенесем все в левую часть: $x^2 + 3x + 2 = 0$. Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета) $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $-1; -2$.

4) В уравнении $(x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x - 1) = 28$ введем новую переменную для повторяющегося выражения: пусть $t = x^2 - 5x$. Тогда уравнение можно переписать в виде $(t + 2)(t - 1) = 28$. Раскроем скобки и упростим: $t^2 - t + 2t - 2 = 28$, что дает $t^2 + t - 30 = 0$. Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета) $t_1 = 5$ и $t_2 = -6$. Выполним обратную замену.
1. При $t = 5$ получаем уравнение $x^2 - 5x = 5$, или $x^2 - 5x - 5 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 25 + 20 = 45$. Корни уравнения: $x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.
2. При $t = -6$ получаем уравнение $x^2 - 5x = -6$, или $x^2 - 5x + 6 = 0$. Его корни (по теореме Виета) $x_3 = 2$ и $x_4 = 3$.
Ответ: $2; 3; \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}; \frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}$.

11.12. 1) $\frac{x^2 - 2x}{4x - 3} + 5 = \frac{16x - 12}{2x - x^2}$;

2) $\frac{x^2 + 4x}{7x - 2} - \frac{12 - 42x}{x^2 + 4x} = 7$;

3) $\left(\frac{4x - 5}{3x + 2}\right)^2 + \left(\frac{3x + 2}{5 - 4x}\right)^2 = 4,25$;

4) $\left(\frac{5x + 1}{2x - 3}\right)^2 + \left(\frac{3 - 2x}{5x + 1}\right)^2 = \frac{82}{9}$.

1) $ \frac{x^2 - 2x}{4x - 3} + 5 = \frac{16x - 12}{2x - x^2} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$4x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{4}$

$2x - x^2 \neq 0 \implies x(2 - x) \neq 0 \implies x \neq 0 \text{ и } x \neq 2$

Преобразуем правую часть уравнения:

$ \frac{16x - 12}{2x - x^2} = \frac{4(4x - 3)}{-x(x - 2)} = -\frac{4(4x - 3)}{x(x-2)} $

Исходное уравнение принимает вид:

$ \frac{x(x - 2)}{4x - 3} + 5 = -\frac{4(4x - 3)}{x(x - 2)} $

Введем замену. Пусть $y = \frac{x(x - 2)}{4x - 3}$. Тогда $\frac{4x-3}{x(x-2)} = \frac{1}{y}$. Уравнение примет вид:

$ y + 5 = -\frac{4}{y} $

Умножим обе части на $y$ (при $y \neq 0$, что выполняется, т.к. $x \neq 0$ и $x \neq 2$):

$ y^2 + 5y = -4 $

$ y^2 + 5y + 4 = 0 $

По теореме Виета находим корни: $y_1 = -1$, $y_2 = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = -1$.

$ \frac{x^2 - 2x}{4x - 3} = -1 $

$ x^2 - 2x = -(4x - 3) $

$ x^2 - 2x = -4x + 3 $

$ x^2 + 2x - 3 = 0 $

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = -4$.

$ \frac{x^2 - 2x}{4x - 3} = -4 $

$ x^2 - 2x = -4(4x - 3) $

$ x^2 - 2x = -16x + 12 $

$ x^2 + 14x - 12 = 0 $

Найдем корни через дискриминант:

$ D = 14^2 - 4(1)(-12) = 196 + 48 = 244 $

$ x = \frac{-14 \pm \sqrt{244}}{2} = \frac{-14 \pm 2\sqrt{61}}{2} = -7 \pm \sqrt{61} $

Корни $x_3 = -7 + \sqrt{61}$ и $x_4 = -7 - \sqrt{61}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; 1; -7 - \sqrt{61}; -7 + \sqrt{61}$.

2) $ \frac{x^2 + 4x}{7x - 2} - \frac{12 - 42x}{x^2 + 4x} = 7 $

ОДЗ: $7x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{7}$ и $x^2 + 4x \neq 0 \implies x(x+4) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -4$.

Преобразуем вторую дробь:

$ \frac{12 - 42x}{x^2 + 4x} = \frac{-6(7x - 2)}{x^2 + 4x} $

Подставим в уравнение:

$ \frac{x^2 + 4x}{7x - 2} - \frac{-6(7x - 2)}{x^2 + 4x} = 7 $

$ \frac{x^2 + 4x}{7x - 2} + \frac{6(7x - 2)}{x^2 + 4x} = 7 $

Введем замену. Пусть $y = \frac{x^2 + 4x}{7x - 2}$. Тогда уравнение примет вид:

$ y + \frac{6}{y} = 7 $

Умножим на $y$ (при $y \neq 0$, что выполняется, т.к. $x \neq 0$ и $x \neq -4$):

$ y^2 + 6 = 7y $

$ y^2 - 7y + 6 = 0 $

По теореме Виета корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 6$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 1$.

$ \frac{x^2 + 4x}{7x - 2} = 1 $

$ x^2 + 4x = 7x - 2 $

$ x^2 - 3x + 2 = 0 $

Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = 6$.

$ \frac{x^2 + 4x}{7x - 2} = 6 $

$ x^2 + 4x = 6(7x - 2) $

$ x^2 + 4x = 42x - 12 $

$ x^2 - 38x + 12 = 0 $

Найдем корни через дискриминант:

$ D = (-38)^2 - 4(1)(12) = 1444 - 48 = 1396 $

$ x = \frac{38 \pm \sqrt{1396}}{2} = \frac{38 \pm 2\sqrt{349}}{2} = 19 \pm \sqrt{349} $

Корни $x_3 = 19 + \sqrt{349}$ и $x_4 = 19 - \sqrt{349}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 2; 19 - \sqrt{349}; 19 + \sqrt{349}$.

3) $ (\frac{4x - 5}{3x + 2})^2 + (\frac{3x + 2}{5 - 4x})^2 = 4,25 $

ОДЗ: $3x + 2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3}$ и $5 - 4x \neq 0 \implies x \neq \frac{5}{4}$.

Заметим, что $5 - 4x = -(4x - 5)$. Тогда $(\frac{3x + 2}{5 - 4x})^2 = (\frac{3x + 2}{-(4x - 5)})^2 = (\frac{3x + 2}{4x - 5})^2$.

Уравнение принимает вид:

$ (\frac{4x - 5}{3x + 2})^2 + (\frac{3x + 2}{4x - 5})^2 = 4,25 $

Переведем $4,25$ в дробь: $4,25 = 4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$.

Введем замену. Пусть $y = (\frac{4x - 5}{3x + 2})^2$. Тогда уравнение примет вид:

$ y + \frac{1}{y} = \frac{17}{4} $

Умножим на $4y$ (т.к. $y > 0$):

$ 4y^2 + 4 = 17y $

$ 4y^2 - 17y + 4 = 0 $

$ D = (-17)^2 - 4(4)(4) = 289 - 64 = 225 = 15^2 $

$ y = \frac{17 \pm 15}{8} \implies y_1 = \frac{32}{8} = 4, y_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 4$.

$ (\frac{4x - 5}{3x + 2})^2 = 4 \implies \frac{4x - 5}{3x + 2} = \pm 2 $

a) $\frac{4x - 5}{3x + 2} = 2 \implies 4x - 5 = 6x + 4 \implies 2x = -9 \implies x_1 = -4,5$.

б) $\frac{4x - 5}{3x + 2} = -2 \implies 4x - 5 = -6x - 4 \implies 10x = 1 \implies x_2 = 0,1$.

Случай 2: $y = \frac{1}{4}$.

$ (\frac{4x - 5}{3x + 2})^2 = \frac{1}{4} \implies \frac{4x - 5}{3x + 2} = \pm \frac{1}{2} $

a) $\frac{4x - 5}{3x + 2} = \frac{1}{2} \implies 8x - 10 = 3x + 2 \implies 5x = 12 \implies x_3 = 2,4$.

б) $\frac{4x - 5}{3x + 2} = -\frac{1}{2} \implies 8x - 10 = -3x - 2 \implies 11x = 8 \implies x_4 = \frac{8}{11}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-4,5; 0,1; \frac{8}{11}; 2,4$.

4) $ (\frac{5x + 1}{2x - 3})^2 + (\frac{3 - 2x}{5x + 1})^2 = \frac{82}{9} $

ОДЗ: $2x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}$ и $5x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{5}$.

Заметим, что $3 - 2x = -(2x - 3)$. Тогда $(\frac{3 - 2x}{5x + 1})^2 = (\frac{-(2x - 3)}{5x + 1})^2 = (\frac{2x - 3}{5x + 1})^2$.

Уравнение принимает вид:

$ (\frac{5x + 1}{2x - 3})^2 + (\frac{2x - 3}{5x + 1})^2 = \frac{82}{9} $

Введем замену. Пусть $y = (\frac{5x + 1}{2x - 3})^2$. Тогда уравнение примет вид:

$ y + \frac{1}{y} = \frac{82}{9} $

Умножим на $9y$ (т.к. $y > 0$):

$ 9y^2 + 9 = 82y $

$ 9y^2 - 82y + 9 = 0 $

$ D = (-82)^2 - 4(9)(9) = 6724 - 324 = 6400 = 80^2 $

$ y = \frac{82 \pm 80}{18} \implies y_1 = \frac{162}{18} = 9, y_2 = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} $

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 9$.

$ (\frac{5x + 1}{2x - 3})^2 = 9 \implies \frac{5x + 1}{2x - 3} = \pm 3 $

a) $\frac{5x + 1}{2x - 3} = 3 \implies 5x + 1 = 6x - 9 \implies x = 10$.

б) $\frac{5x + 1}{2x - 3} = -3 \implies 5x + 1 = -6x + 9 \implies 11x = 8 \implies x = \frac{8}{11}$.

Случай 2: $y = \frac{1}{9}$.

$ (\frac{5x + 1}{2x - 3})^2 = \frac{1}{9} \implies \frac{5x + 1}{2x - 3} = \pm \frac{1}{3} $

a) $\frac{5x + 1}{2x - 3} = \frac{1}{3} \implies 15x + 3 = 2x - 3 \implies 13x = -6 \implies x = -\frac{6}{13}$.

б) $\frac{5x + 1}{2x - 3} = -\frac{1}{3} \implies 15x + 3 = -2x + 3 \implies 17x = 0 \implies x = 0$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10; \frac{8}{11}; -\frac{6}{13}; 0$.

Решите уравнения (11.13–11.19):

11.13. 1) $x^2 + (\sqrt{x})^2 - 2 = 0;

2) $x^2 + \sqrt{x^2} - 2 = 0;

3) $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 - 4 = 0;

4) $x^2 - 3\sqrt{x^2} - 4 = 0.$

1) Исходное уравнение: $x^2 + (\sqrt{x})^2 - 2 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием квадратного корня из переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, следовательно, $x \ge 0$.
По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $x$ справедливо равенство $(\sqrt{x})^2 = x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$x^2 + x - 2 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$, следовательно, является решением исходного уравнения.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 < 0$, следовательно, является посторонним корнем.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $1$.

2) Исходное уравнение: $x^2 + \sqrt{x^2} - 2 = 0$.
В этом уравнении под корнем стоит $x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.
По свойству квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $\sqrt{x^2} = |x|$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 + |x| - 2 = 0$
Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая:
Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.
$x^2 + x - 2 = 0$
Корни этого уравнения, как мы нашли в предыдущем пункте, $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Проверяем соответствие условию $x \ge 0$:
$x_1 = 1$ подходит ($1 \ge 0$).
$x_2 = -2$ не подходит ($-2 < 0$).
Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверяем соответствие условию $x < 0$:
$x_1 = 2$ не подходит ($2 > 0$).
$x_2 = -1$ подходит ($-1 < 0$).
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: $1; -1$.

3) Исходное уравнение: $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 - 4 = 0$.
ОДЗ уравнения: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Упростим уравнение, используя тождество $(\sqrt{x})^2 = x$ (справедливо при $x \ge 0$):
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Проверяем найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 < 0$, поэтому является посторонним.
Следовательно, решение одно.
Ответ: $4$.

4) Исходное уравнение: $x^2 - 3\sqrt{x^2} - 4 = 0$.
ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty; +\infty)$, так как $x^2 \ge 0$ при любом $x$.
Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение приобретает вид:
$x^2 - 3|x| - 4 = 0$
Так как $x^2 = |x|^2$, можно сделать замену переменной. Пусть $t = |x|$. Учитывая, что модуль числа всегда неотрицателен, $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 3t - 4 = 0$
По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 3$
$t_1 \cdot t_2 = -4$
Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Проверяем корни на соответствие условию $t \ge 0$:
$t_1 = 4$ подходит ($4 \ge 0$).
$t_2 = -1$ не подходит ($-1 < 0$).
Возвращаемся к исходной переменной $x$, используя корень $t = 4$:
$|x| = 4$
Это уравнение имеет два решения: $x = 4$ и $x = -4$.
Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: $4; -4$.

11.14. 1) $x^2 - 5x - \frac{6|x|}{x} = 0;$

2) $x^2 + \frac{5x^2}{|x|} - 6 = 0;$

3) $\frac{x^3}{|x|} - 7x + 12 = 0;$

4) $x|x| + 7x + 12 = 0.$

1) Исходное уравнение: $x^2 - 5x - \frac{6|x|}{x} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \neq 0$.
Для решения уравнения рассмотрим два случая, раскрывая модуль.
Случай 1: $x > 0$
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 5x - \frac{6x}{x} = 0$
$x^2 - 5x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Проверяем условие $x > 0$. Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет этому условию, а $x_2 = -1$ — нет. Таким образом, $x = 6$ является решением.
Случай 2: $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 5x - \frac{6(-x)}{x} = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $x_3 = 2$ и $x_4 = 3$.
Проверяем условие $x < 0$. Ни один из корней не удовлетворяет этому условию.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственное решение.
Ответ: 6.

2) Исходное уравнение: $x^2 + \frac{5x^2}{|x|} - 6 = 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде:
$|x|^2 + \frac{5|x|^2}{|x|} - 6 = 0$
Так как $x \neq 0$, то $|x| > 0$, поэтому можно сократить дробь:
$|x|^2 + 5|x| - 6 = 0$
Введем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как $x \neq 0$, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 + 5t - 6 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.
Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной:
$|x| = t_1 = 1$
Из этого уравнения получаем два решения: $x = 1$ и $x = -1$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -1; 1.

3) Исходное уравнение: $\frac{x^3}{|x|} - 7x + 12 = 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x > 0$
Тогда $|x| = x$. Уравнение становится:
$\frac{x^3}{x} - 7x + 12 = 0$
$x^2 - 7x + 12 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Оба корня удовлетворяют условию $x > 0$, поэтому оба являются решениями.
Случай 2: $x < 0$
Тогда $|x| = -x$. Уравнение становится:
$\frac{x^3}{-x} - 7x + 12 = 0$
$-x^2 - 7x + 12 = 0$
$x^2 + 7x - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 7^2 - 4(1)(-12) = 49 + 48 = 97$
Корни: $x = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{2}$.
Рассмотрим каждый корень:
$x_3 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} \approx 9.85$, то $-7 + \sqrt{97} > 0$, значит $x_3 > 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 0$.
$x_4 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{2}$. Этот корень очевидно меньше нуля, так что он удовлетворяет условию $x < 0$ и является решением.
Объединяя результаты, получаем три решения.
Ответ: $3; 4; \frac{-7 - \sqrt{97}}{2}$.

4) Исходное уравнение: $x|x| + 7x + 12 = 0$.
Это уравнение определено для всех действительных чисел $x$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$
Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 7x + 12 = 0$
$x^2 + 7x + 12 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$.
Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x \ge 0$. В этом случае решений нет.
Случай 2: $x < 0$
Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x(-x) + 7x + 12 = 0$
$-x^2 + 7x + 12 = 0$
$x^2 - 7x - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-7)^2 - 4(1)(-12) = 49 + 48 = 97$
Корни: $x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$.
Рассмотрим каждый корень:
$x_3 = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$. Этот корень положителен и не удовлетворяет условию $x < 0$.
$x_4 = \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} \approx 9.85$, то $7 - \sqrt{97} < 0$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 0$ и является решением.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $\frac{7 - \sqrt{97}}{2}$.

11.15.

1) $x^2 + (\sqrt{x - 2})^2 - 5 = 0;$

2) $x^2 - (\sqrt{x + 3})^2 - 8 = 0;$

3) $x^2 - 3x + \frac{3,5 - x}{|x - 3,5|} = 0;$

4) $x^2 - 4x \cdot \frac{|x - \pi|}{x - \pi} + 2 = 0.$

1) $x^2 + (\sqrt{x-2})^2 - 5 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
На ОДЗ справедливо тождество $(\sqrt{a})^2 = a$, поэтому уравнение можно упростить:
$x^2 + (x - 2) - 5 = 0$
$x^2 + x - 7 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение по формуле корней:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$.
Получаем два потенциальных корня: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{29}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$.
Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \ge 2$).
Корень $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{29}}{2}$ — отрицательное число, поэтому он не удовлетворяет условию $x \ge 2$ и является посторонним.
Проверим корень $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$. Сравним его с 2: $\frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \ge 2 \iff -1 + \sqrt{29} \ge 4 \iff \sqrt{29} \ge 5 \iff 29 \ge 25$. Неравенство верное, значит, корень $x_2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$.

2) $x^2 - (\sqrt{x+3})^2 - 8 = 0$

ОДЗ: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.
Упростим исходное уравнение, раскрыв скобки и квадрат корня:
$x^2 - (x+3) - 8 = 0$
$x^2 - x - 11 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 44}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 3\sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \ge -3$).
Для $x_1 = \frac{1 - 3\sqrt{5}}{2}$: проверим неравенство $\frac{1 - 3\sqrt{5}}{2} \ge -3 \iff 1 - 3\sqrt{5} \ge -6 \iff 7 \ge 3\sqrt{5} \iff 49 \ge 45$. Неравенство верно, $x_1$ — корень.
Для $x_2 = \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$: это положительное число, которое очевидно больше -3, поэтому $x_2$ также является корнем.
Ответ: $x_1 = \frac{1 - 3\sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$.

3) $x^2 - 3x + \frac{3,5 - x}{|x - 3,5|} = 0$

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $|x - 3,5| \ne 0 \implies x \ne 3,5$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x > 3,5$.
При этом условии $|x - 3,5| = x - 3,5$. Дробь равна $\frac{3,5 - x}{x - 3,5} = \frac{-(x - 3,5)}{x - 3,5} = -1$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - 3x - 1 = 0$.
Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(-1)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Проверим корни на соответствие условию $x > 3,5$.
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} < 0$, не удовлетворяет.
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$. Так как $\sqrt{13} < \sqrt{16} = 4$, то $3+\sqrt{13} < 7$, и $\frac{3 + \sqrt{13}}{2} < 3,5$. Корень не удовлетворяет условию.
В этом случае решений нет.
Случай 2: $x < 3,5$.
При этом условии $|x - 3,5| = -(x - 3,5) = 3,5 - x$. Дробь равна $\frac{3,5 - x}{3,5 - x} = 1$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - 3x + 1 = 0$.
Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Проверим корни на соответствие условию $x < 3,5$.
$x_3 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Так как $\sqrt{5} < 4$, то $3+\sqrt{5} < 7$, и $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} < 3,5$. Корень удовлетворяет.
$x_4 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} < \frac{3}{2} = 1,5 < 3,5$. Корень удовлетворяет.
Ответ: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

4) $x^2 - 4x \cdot \frac{|x - \pi|}{x - \pi} + 2 = 0$

ОДЗ: $x - \pi \ne 0 \implies x \ne \pi$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x > \pi$.
Тогда $\frac{|x - \pi|}{x - \pi} = 1$. Уравнение: $x^2 - 4x + 2 = 0$.
Корни: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.
Проверяем на $x > \pi$ (где $\pi \approx 3,14$):
$x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0,59 < \pi$, не подходит.
$x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3,41 > \pi$, подходит.
Случай 2: $x < \pi$.
Тогда $\frac{|x - \pi|}{x - \pi} = -1$. Уравнение: $x^2 + 4x + 2 = 0$.
Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$.
Проверяем на $x < \pi$:
$x_3 = -2 - \sqrt{2} < 0 < \pi$, подходит.
$x_4 = -2 + \sqrt{2} \approx -0,59 < \pi$, подходит.
Ответ: $x_1 = 2 + \sqrt{2}, x_2 = -2 - \sqrt{2}, x_3 = -2 + \sqrt{2}$.