Страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.37. Решите уравнение графическим способом (ответ округлите до десятых):

1) $2x^2 - 1 = 3x + 2$;

2) $-3x^2 + 2 = x - 1$;

3) $-2x^2 = \frac{4}{x}$;

4) $x^2 = -\frac{2}{x}$.

1) $2x^2 - 1 = 3x + 2$

Для решения уравнения графическим способом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 2x^2 - 1$ и $y = 3x + 2$.

График функции $y = 2x^2 - 1$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -1)$. Для построения найдем еще несколько точек: при $x=\pm1$, $y=1$; при $x=\pm2$, $y=7$.

График функции $y = 3x + 2$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0; 2)$ и $(1; 5)$.

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек являются решениями исходного уравнения. По графику определяем приближенные значения абсцисс точек пересечения: $x_1 \approx -0.7$ и $x_2 \approx 2.2$.

Ответ: $x_1 \approx -0.7$, $x_2 \approx 2.2$.

2) $-3x^2 + 2 = x - 1$

Построим в одной системе координат графики функций $y = -3x^2 + 2$ и $y = x - 1$.

График функции $y = -3x^2 + 2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0; 2)$. Для построения возьмем точки: при $x=\pm1$, $y=-1$; при $x=\pm1.5$, $y=-4.75$.

График функции $y = x - 1$ — это прямая, проходящая через точки $(0; -1)$ и $(1; 0)$.

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы точек пересечения приближенно равны $x_1 \approx -1.2$ и $x_2 \approx 0.8$.

Ответ: $x_1 \approx -1.2$, $x_2 \approx 0.8$.

3) $-2x^2 = \frac{4}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = -2x^2$ и $y = \frac{4}{x}$. Заметим, что $x \neq 0$.

График функции $y = -2x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Точки для построения: $(\pm1; -2)$, $(\pm2; -8)$.

График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Точки для построения: $(1; 4)$, $(2; 2)$, $(4; 1)$, $(-1; -4)$, $(-2; -2)$, $(-4; -1)$.

Парабола $y=-2x^2$ принимает только неположительные значения, а гипербола $y=4/x$ положительна при $x>0$ и отрицательна при $x<0$. Следовательно, пересечение возможно только при $x<0$. Из графика видно, что есть одна точка пересечения, ее абсцисса примерно равна $x \approx -1.3$.

Ответ: $x \approx -1.3$.

4) $x^2 = -\frac{2}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = -\frac{2}{x}$. Учтем, что $x \neq 0$.

График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Точки для построения: $(\pm1; 1)$, $(\pm2; 4)$.

График функции $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Точки для построения: $(-1; 2)$, $(-2; 1)$, $(-0.5; 4)$, $(1; -2)$, $(2; -1)$, $(0.5; -4)$.

Парабола $y=x^2$ принимает только неотрицательные значения. Гипербола $y=-2/x$ положительна при $x<0$ и отрицательна при $x>0$. Значит, их графики могут пересечься только при $x<0$. На графике видна одна точка пересечения. Ее абсцисса приблизительно равна $x \approx -1.3$.

Ответ: $x \approx -1.3$.

11.38. Найдите значение выражения:

1) $2x^2 - xy - y^2$, если $x = \sqrt{5} + 1$, $y = \sqrt{5} - 1$;

2) $x^2 - 2xy + y^2$, если $x = \sqrt{3} + 2$, $y = \sqrt{3} - 2$.

1) Найдем значение выражения $2x^2 - xy - y^2$, если $x = \sqrt{5} + 1$ и $y = \sqrt{5} - 1$.
Для решения задачи подставим значения $x$ и $y$ в выражение. Чтобы упростить вычисления, сначала найдем значения $x^2$, $y^2$ и $xy$ по отдельности.
Вычисляем $x^2$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$x^2 = (\sqrt{5} + 1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$.
Вычисляем $y^2$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$y^2 = (\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.
Вычисляем произведение $xy$, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$xy = (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$.
Теперь подставляем найденные значения в исходное выражение:
$2x^2 - xy - y^2 = 2(6 + 2\sqrt{5}) - 4 - (6 - 2\sqrt{5})$.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$12 + 4\sqrt{5} - 4 - 6 + 2\sqrt{5} = (12 - 4 - 6) + (4\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) = 2 + 6\sqrt{5}$.

Ответ: $2 + 6\sqrt{5}$.

2) Найдем значение выражения $x^2 - 2xy + y^2$, если $x = \sqrt{3} + 2$ и $y = \sqrt{3} - 2$.
Заметим, что данное выражение является формулой сокращенного умножения — квадратом разности:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Использование этой формулы значительно упрощает решение. Сначала найдем значение разности $x - y$:
$x - y = (\sqrt{3} + 2) - (\sqrt{3} - 2) = \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 2 = 4$.
Теперь подставим полученное значение в преобразованное выражение:
$(x-y)^2 = 4^2 = 16$.

Ответ: $16$.

11.39. При каком значении параметра c один из корней уравнения $cx^2 - 5x - 7 = 0$ равен:

1) -1;

2) 4;

3) 2,5;

4) 5?

Для того чтобы найти значение параметра $c$, нужно подставить заданное значение корня $x$ в уравнение $cx^2 - 5x - 7 = 0$ и решить полученное линейное уравнение относительно $c$.

1) Если корень уравнения $x = -1$:

Подставляем $x = -1$ в исходное уравнение:

$c \cdot (-1)^2 - 5 \cdot (-1) - 7 = 0$

Выполняем вычисления:

$c \cdot 1 + 5 - 7 = 0$

$c - 2 = 0$

Находим значение $c$:

$c = 2$

Ответ: $c = 2$.

2) Если корень уравнения $x = 4$:

Подставляем $x = 4$ в исходное уравнение:

$c \cdot (4)^2 - 5 \cdot 4 - 7 = 0$

Выполняем вычисления:

$c \cdot 16 - 20 - 7 = 0$

$16c - 27 = 0$

Находим значение $c$:

$16c = 27$

$c = \frac{27}{16}$

Ответ: $c = \frac{27}{16}$.

3) Если корень уравнения $x = 2,5$:

Подставляем $x = 2,5$ (или $x = \frac{5}{2}$) в исходное уравнение:

$c \cdot (2,5)^2 - 5 \cdot 2,5 - 7 = 0$

Выполняем вычисления:

$c \cdot 6,25 - 12,5 - 7 = 0$

$6,25c - 19,5 = 0$

Находим значение $c$:

$6,25c = 19,5$

$c = \frac{19,5}{6,25} = \frac{1950}{625} = \frac{78}{25}$

Ответ: $c = \frac{78}{25}$.

4) Если корень уравнения $x = 5$:

Подставляем $x = 5$ в исходное уравнение:

$c \cdot (5)^2 - 5 \cdot 5 - 7 = 0$

Выполняем вычисления:

$c \cdot 25 - 25 - 7 = 0$

$25c - 32 = 0$

Находим значение $c$:

$25c = 32$

$c = \frac{32}{25}$

Ответ: $c = \frac{32}{25}$.

11.40. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Найдите число рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места.

Пусть $x$ — это число рядов в кинотеатре.

Согласно условию задачи, число мест в каждом ряду на 8 больше, чем число рядов. Следовательно, количество мест в одном ряду составляет $x + 8$.

Общее число мест в кинотеатре равно произведению числа рядов на количество мест в одном ряду. По условию, всего в кинотеатре 884 места. Мы можем составить уравнение:

$x \cdot (x + 8) = 884$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 8x = 884$

$x^2 + 8x - 884 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-884) = 64 + 3536 = 3600$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 60}{2} = \frac{52}{2} = 26$

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 60}{2} = \frac{-68}{2} = -34$

Так как число рядов $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -34$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, в кинотеатре 26 рядов.

Проверим полученный результат:

Число рядов: 26.

Число мест в ряду: $26 + 8 = 34$.

Всего мест: $26 \cdot 34 = 884$.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 26.

11.41. 1) Сторона квадрата меньше одной стороны прямоугольника на $6 \text{ см}$, больше другой стороны на $2 \text{ см}$. Площадь квадрата меньше площади прямоугольника на $16 \text{ см}^2$. Найдите площадь квадрата.

2) Периметр прямоугольника равен $40 \text{ см}$. Если его длину увеличить на $12 \text{ см}$, а ширину уменьшить на $4 \text{ см}$, то площадь прямоугольника увеличится на $16 \text{ см}^2$. Найдите площадь прямоугольника.

1) Пусть сторона квадрата равна $x$ см. Согласно условию, одна сторона прямоугольника на 6 см больше стороны квадрата, а другая сторона на 2 см меньше. Значит, стороны прямоугольника равны $(x+6)$ см и $(x-2)$ см.

Площадь квадрата равна $S_{кв} = x^2$. Площадь прямоугольника равна $S_{пр} = (x+6)(x-2)$.

По условию, площадь квадрата на 16 см² меньше площади прямоугольника. Составим уравнение:

$S_{пр} - S_{кв} = 16$

$(x+6)(x-2) - x^2 = 16$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x^2 - 2x + 6x - 12 - x^2 = 16$

$4x - 12 = 16$

$4x = 16 + 12$

$4x = 28$

$x = 7$

Сторона квадрата равна 7 см. Тогда площадь квадрата равна:

$S_{кв} = x^2 = 7^2 = 49$ см².

Проверим: стороны прямоугольника равны $7+6=13$ см и $7-2=5$ см. Площадь прямоугольника $S_{пр} = 13 \cdot 5 = 65$ см². Разница площадей: $65 - 49 = 16$ см², что соответствует условию.

Ответ: 49 см².

2) Пусть длина прямоугольника равна $a$ см, а ширина — $b$ см. Периметр прямоугольника равен $P = 2(a+b)$.

По условию, периметр равен 40 см, значит:

$2(a+b) = 40$

$a+b = 20$

Отсюда можно выразить одну сторону через другую, например, $a = 20-b$.

Первоначальная площадь прямоугольника равна $S_1 = a \cdot b$.

После изменений длина стала $(a+12)$ см, а ширина — $(b-4)$ см. Новая площадь стала $S_2 = (a+12)(b-4)$.

По условию, новая площадь на 16 см² больше первоначальной:

$S_2 = S_1 + 16$

$(a+12)(b-4) = ab + 16$

Раскроем скобки:

$ab - 4a + 12b - 48 = ab + 16$

Сократим $ab$ в обеих частях уравнения:

$-4a + 12b - 48 = 16$

$-4a + 12b = 64$

Разделим обе части на 4:

$-a + 3b = 16$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} a+b=20 \\ -a+3b=16 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(a+b) + (-a+3b) = 20+16$

$4b = 36$

$b = 9$

Теперь найдем $a$ из первого уравнения:

$a = 20 - b = 20 - 9 = 11$

Итак, стороны исходного прямоугольника равны 11 см и 9 см. Найдем его площадь:

$S_1 = a \cdot b = 11 \cdot 9 = 99$ см².

Ответ: 99 см².

11.42. Если скорость моторной лодки в стоячей воде равна $12,3 \text{ км/ч}$ и скорость течения реки — $3,3 \text{ км/ч}$, то какой будет скорость лодки по течению и против течения?

Для решения этой задачи необходимо определить скорость моторной лодки относительно берега при движении по течению и против течения реки. Обозначим собственную скорость лодки (скорость в стоячей воде) как $v_{с}$ и скорость течения реки как $v_{т}$.

Из условия задачи нам известно:

$v_{с} = 12,3$ км/ч

$v_{т} = 3,3$ км/ч

по течению

Когда лодка движется по течению, ее собственная скорость складывается со скоростью течения. Скорость лодки по течению ($v_{по}$) вычисляется по формуле:

$v_{по} = v_{с} + v_{т}$

Подставим известные значения в формулу:

$v_{по} = 12,3 \text{ км/ч} + 3,3 \text{ км/ч} = 15,6 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость лодки по течению равна 15,6 км/ч.

против течения

Когда лодка движется против течения, ее скорость уменьшается на величину скорости течения. Скорость лодки против течения ($v_{против}$) вычисляется по формуле:

$v_{против} = v_{с} - v_{т}$

Подставим известные значения в формулу:

$v_{против} = 12,3 \text{ км/ч} - 3,3 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость лодки против течения равна 9 км/ч.