Страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.12. 1) Катер прошел по течению реки 5 км, против течения — 12 км, затратив на весь путь время, нужное для прохождения 18 км по озеру. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна $3 \text{ км/ч}$.

2) Моторная лодка прошла по течению реки 10 км, против течения — 15 км, затратив на весь путь 1 час 10 минут. Найдите скорость лодки по течению, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$.

1)

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость катера по течению реки равна $(x + 3)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(x - 3)$ км/ч. Скорость катера по озеру равна его собственной скорости, то есть $x$ км/ч.

Катер прошел 5 км по течению реки, затратив на это время $t_1 = \frac{5}{x+3}$ часов.

Затем он прошел 12 км против течения, затратив время $t_2 = \frac{12}{x-3}$ часов.

Общее время движения по реке составляет $T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{5}{x+3} + \frac{12}{x-3}$ часов.

Время, нужное для прохождения 18 км по озеру, составляет $T_{озеро} = \frac{18}{x}$ часов.

По условию задачи, эти времена равны: $T_{река} = T_{озеро}$. Составим уравнение:

$\frac{5}{x+3} + \frac{12}{x-3} = \frac{18}{x}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{5(x-3) + 12(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{18}{x}$

$\frac{5x - 15 + 12x + 36}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}$

$\frac{17x + 21}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}$

Воспользуемся свойством пропорции. Заметим, что собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, чтобы он мог двигаться против течения, то есть $x > 3$.

$x(17x + 21) = 18(x^2 - 9)$

$17x^2 + 21x = 18x^2 - 162$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$18x^2 - 17x^2 - 21x - 162 = 0$

$x^2 - 21x - 162 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089$

$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -6$ не является решением задачи. Собственная скорость катера $x = 27$ км/ч удовлетворяет условию $x > 3$.

Ответ: собственная скорость катера равна 27 км/ч.

2)

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 2)$ км/ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 1 час 10 минут. Переведем это время в часы:

$1 \text{ час } 10 \text{ мин} = 1 + \frac{10}{60} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$ часа.

Время, затраченное на путь 10 км по течению, равно $t_1 = \frac{10}{x+2}$ часов.

Время, затраченное на путь 15 км против течения, равно $t_2 = \frac{15}{x-2}$ часов.

Общее время движения равно сумме $t_1$ и $t_2$. Составим уравнение:

$\frac{10}{x+2} + \frac{15}{x-2} = \frac{7}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю. Заметим, что $x > 2$.

$\frac{10(x-2) + 15(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{7}{6}$

$\frac{10x - 20 + 15x + 30}{x^2 - 4} = \frac{7}{6}$

$\frac{25x + 10}{x^2 - 4} = \frac{7}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$6(25x + 10) = 7(x^2 - 4)$

$150x + 60 = 7x^2 - 28$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$7x^2 - 150x - 88 = 0$

Решим это уравнение:

$D = b^2 - 4ac = (-150)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-88) = 22500 + 2464 = 24964$

$\sqrt{D} = \sqrt{24964} = 158$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{150 + 158}{2 \cdot 7} = \frac{308}{14} = 22$

$x_2 = \frac{150 - 158}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому собственная скорость лодки равна 22 км/ч. Это удовлетворяет условию $x > 2$.

В задаче требуется найти скорость лодки по течению:

$v_{по течению} = x + 2 = 22 + 2 = 24$ км/ч.

Ответ: скорость лодки по течению равна 24 км/ч.

12.13. 1) Мотоциклист проезжает 200 км на 5 часов быстрее велосипедиста. Найдите их скорости, если скорость велосипедиста на 20 км/ч меньше скорости мотоциклиста.

2) Теплоход с туристами прошел по течению реки 10 км и против течения 8 км, затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость теплохода по течению и против течения, если скорость самого течения 3 км/ч.

1)

Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч. Расстояние, которое они проезжают, равно $S = 200$ км.

Согласно условию, скорость велосипедиста на 20 км/ч меньше скорости мотоциклиста. Это можно записать в виде уравнения:

$v_в = v_м - 20$

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = S/v$. Мотоциклист проезжает 200 км на 5 часов быстрее велосипедиста, значит, время велосипедиста больше времени мотоциклиста на 5 часов:

$t_в - t_м = 5$

Подставим в это уравнение выражения для времени через скорость:

$\frac{200}{v_в} - \frac{200}{v_м} = 5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим первое уравнение во второе. Для удобства обозначим скорость мотоциклиста через $x$, тогда $v_м = x$, а $v_в = x - 20$.

$\frac{200}{x - 20} - \frac{200}{x} = 5$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 20)$:

$\frac{200x - 200(x - 20)}{x(x - 20)} = 5$

$\frac{200x - 200x + 4000}{x^2 - 20x} = 5$

$\frac{4000}{x^2 - 20x} = 5$

Умножим обе части на $x^2 - 20x$ (при условии, что $x \ne 0$ и $x \ne 20$, что верно, так как скорость не может быть нулевой, а скорость велосипедиста положительна):

$4000 = 5(x^2 - 20x)$

Разделим обе части на 5:

$800 = x^2 - 20x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 20x - 800 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-800) = 400 + 3200 = 3600$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 60}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 60}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -20$ не является решением задачи. Следовательно, скорость мотоциклиста $v_м = 40$ км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста:

$v_в = v_м - 20 = 40 - 20 = 20$ км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста — 40 км/ч, скорость велосипедиста — 20 км/ч.

2)

Пусть $v_т$ — собственная скорость теплохода (в стоячей воде) в км/ч. Скорость течения реки по условию равна $v_р = 3$ км/ч.

Скорость теплохода по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_т + v_р = v_т + 3$ км/ч.

Скорость теплохода против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения:

$v_{пр} = v_т - v_р = v_т - 3$ км/ч.

Теплоход прошел 10 км по течению, затратив на это время $t_{по} = \frac{10}{v_{по}} = \frac{10}{v_т + 3}$ часа.

Затем он прошел 8 км против течения, затратив на это время $t_{пр} = \frac{8}{v_{пр}} = \frac{8}{v_т - 3}$ часа.

Общее время в пути составило 3 часа, следовательно:

$t_{по} + t_{пр} = 3$

$\frac{10}{v_т + 3} + \frac{8}{v_т - 3} = 3$

Обозначим собственную скорость теплохода за $x$, тогда $v_т = x$. Уравнение примет вид:

$\frac{10}{x + 3} + \frac{8}{x - 3} = 3$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$:

$\frac{10(x - 3) + 8(x + 3)}{x^2 - 9} = 3$

$\frac{10x - 30 + 8x + 24}{x^2 - 9} = 3$

$\frac{18x - 6}{x^2 - 9} = 3$

Умножим обе части на $x^2 - 9$ (при условии, что $x \ne 3$ и $x \ne -3$, что верно, так как собственная скорость должна быть больше скорости течения):

$18x - 6 = 3(x^2 - 9)$

$18x - 6 = 3x^2 - 27$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 18x - 21 = 0$

Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 - 6x - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно -7. Легко подобрать корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.

Поскольку собственная скорость теплохода должна быть положительной величиной ($x > 0$), а также больше скорости течения ($x > 3$), корень $x_2 = -1$ не подходит. Значит, собственная скорость теплохода $v_т = 7$ км/ч.

Задача просит найти скорость теплохода по течению и против течения:

Скорость по течению: $v_{по} = v_т + 3 = 7 + 3 = 10$ км/ч.

Скорость против течения: $v_{пр} = v_т - 3 = 7 - 3 = 4$ км/ч.

Ответ: скорость теплохода по течению — 10 км/ч, скорость против течения — 4 км/ч.

12.14.

1)

Две бригады рабочих должны к некоторому сроку изготовить по 300 деталей. Первая бригада, изготовляя в день на 10 деталей больше второй, затратила на выполнение задания на 1 день меньше. Сколько деталей в день изготовливала каждая бригада?

2)

На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 минуту меньше, чем второй. Сколько деталей обработает каждый из них за 0,7 часа, если первый обрабатывает за это время на одну деталь больше, чем второй?

1)

Пусть $x$ деталей в день изготавливала вторая бригада. Тогда, согласно условию, первая бригада изготавливала $(x + 10)$ деталей в день.

Общий объем работы для каждой бригады составляет 300 деталей.

Время, которое затратила вторая бригада на выполнение задания, составляет $T_2 = \frac{300}{x}$ дней.

Время, которое затратила первая бригада на выполнение задания, составляет $T_1 = \frac{300}{x + 10}$ дней.

По условию, первая бригада затратила на 1 день меньше, чем вторая. Это можно выразить уравнением: $T_2 - T_1 = 1$.

Подставим выражения для $T_1$ и $T_2$:

$\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 10} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 10)$:

$\frac{300(x + 10) - 300x}{x(x + 10)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{300x + 3000 - 300x}{x^2 + 10x} = 1$

$\frac{3000}{x^2 + 10x} = 1$

Умножим обе части на знаменатель, при условии что $x \neq 0$ и $x \neq -10$, что выполняется по смыслу задачи:

$x^2 + 10x = 3000$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Найдем корни уравнения:

$x_{1} = \frac{-10 + \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_{2} = \frac{-10 - \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как количество деталей, изготавливаемых в день, не может быть отрицательным, корень $x_2 = -60$ не является решением задачи.

Следовательно, производительность второй бригады составляет $x = 50$ деталей в день.

Производительность первой бригады составляет $x + 10 = 50 + 10 = 60$ деталей в день.

Ответ: первая бригада изготавливала 60 деталей в день, вторая бригада — 50 деталей в день.

2)

Сначала переведем общее время работы в минуты для удобства вычислений:

$0,7 \text{ часа} = 0,7 \times 60 = 42 \text{ минуты}$.

Пусть $t$ минут — это время, которое второй рабочий затрачивает на обработку одной детали.

Тогда, по условию, первый рабочий затрачивает на одну деталь на 1 минуту меньше, то есть $(t - 1)$ минуту.

За 42 минуты первый рабочий обработает $N_1 = \frac{42}{t - 1}$ деталей.

За 42 минуты второй рабочий обработает $N_2 = \frac{42}{t}$ деталей.

Известно, что первый рабочий за это время обрабатывает на одну деталь больше, чем второй. Составим уравнение: $N_1 - N_2 = 1$.

$\frac{42}{t - 1} - \frac{42}{t} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $t(t - 1)$:

$\frac{42t - 42(t - 1)}{t(t - 1)} = 1$

$\frac{42t - 42t + 42}{t^2 - t} = 1$

$\frac{42}{t^2 - t} = 1$

При условии, что $t \neq 0$ и $t \neq 1$, получим:

$t^2 - t = 42$

$t^2 - t - 42 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -42. Легко подобрать корни: 7 и -6.

$t_1 = 7$

$t_2 = -6$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, второй рабочий тратит на одну деталь $t = 7$ минут.

Первый рабочий тратит на одну деталь $t - 1 = 7 - 1 = 6$ минут.

Теперь найдем, сколько деталей обработает каждый рабочий за 42 минуты (0,7 часа):

Количество деталей, обработанных первым рабочим: $\frac{42 \text{ мин}}{6 \text{ мин/деталь}} = 7$ деталей.

Количество деталей, обработанных вторым рабочим: $\frac{42 \text{ мин}}{7 \text{ мин/деталь}} = 6$ деталей.

Ответ: за 0,7 часа первый рабочий обработает 7 деталей, а второй — 6 деталей.

12.15. 1) Оператор ЭВМ, работая вместе с учеником, обрабатывает задачу за 2 часа 24 минуты. Сколько времени потребовалось бы каждому из них на обработку задачи в отдельности, если ученику нужно для этого на 2 часа больше, чем оператору?

2) Заболевшего секретаря-референта заменили две ученицы-практикантки, причем одной из них нужно на перепечатку рукописи в 3 раза больше времени, чем заболевшему референту, второй — в 2 раза. За какое время одна практикантка может перепечатать рукопись, если известно, что работая вдвоем, они могут выполнить эту работу за 6 часов?

1)

Примем всю работу по обработке задачи за 1. Обозначим за $x$ время в часах, которое требуется оператору ЭВМ для выполнения всей задачи в одиночку. Тогда его производительность (часть задачи, выполняемая за час) равна $\frac{1}{x}$.

Согласно условию, ученику для выполнения этой же задачи требуется на 2 часа больше, то есть $x + 2$ часа. Его производительность равна $\frac{1}{x+2}$.

Работая вместе, они обрабатывают задачу за 2 часа 24 минуты. Переведем это время в часы для удобства расчетов:

$2 \text{ часа } 24 \text{ минуты} = 2 + \frac{24}{60} \text{ часа} = 2 + \frac{2}{5} \text{ часа} = 2.4 \text{ часа} = \frac{12}{5} \text{ часа}$.

Совместная производительность равна сумме их производительностей и в то же время обратна времени совместной работы:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$

Теперь решим полученное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x+2+x}{x(x+2)} = \frac{5}{12}$

$\frac{2x+2}{x^2+2x} = \frac{5}{12}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$12(2x+2) = 5(x^2+2x)$

$24x + 24 = 5x^2 + 10x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 + 10x - 24x - 24 = 0$

$5x^2 - 14x - 24 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 196 + 480 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 26}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 26}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$

Поскольку время не может быть отрицательным, нам подходит только корень $x_1 = 4$.

Итак, время оператора на выполнение задачи — 4 часа.

Время ученика — $x + 2 = 4 + 2 = 6$ часов.

Ответ: оператору потребовалось бы 4 часа, а ученику — 6 часов.

2)

Примем всю работу по перепечатке рукописи за 1. Обозначим за $x$ время в часах, которое требуется заболевшему секретарю-референту для выполнения всей работы.

По условию, первой ученице-практикантке нужно в 3 раза больше времени, чем референту. Значит, ее время работы — $3x$ часов, а ее производительность — $\frac{1}{3x}$.

Второй практикантке нужно в 2 раза больше времени, чем референту. Значит, ее время работы — $2x$ часов, а ее производительность — $\frac{1}{2x}$.

Работая вдвоем, практикантки выполняют работу за 6 часов. Их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$.

Совместная производительность также равна сумме их индивидуальных производительностей. Составим уравнение:

$\frac{1}{3x} + \frac{1}{2x} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $6x$:

$\frac{2}{6x} + \frac{3}{6x} = \frac{1}{6}$

$\frac{5}{6x} = \frac{1}{6}$

Из этого уравнения следует, что числители должны быть равны, если равны знаменатели, то есть $5 = x$.

Таким образом, время, которое потребовалось бы секретарю-референту, составляет 5 часов.

Теперь найдем, сколько времени требуется каждой из практиканток в отдельности:

Время первой практикантки: $3x = 3 \cdot 5 = 15$ часов.

Время второй практикантки: $2x = 2 \cdot 5 = 10$ часов.

Вопрос "За какое время одна практикантка может перепечатать рукопись" не уточняет, о какой из них идет речь, поэтому следует указать оба значения.

Ответ: одна практикантка может перепечатать рукопись за 15 часов, а другая — за 10 часов.

12.16. 1) Один рабочий затрачивает на изготовление одного болта на 6 минут меньше, чем второй. Сколько болтов может изготовить каждый из них за 7 часов, если первый обрабатывает за это время на 8 болтов больше?

2) Ученик тратит на обработку одной болванки на 12 минут больше, чем мастер. Сколько болванок обработает каждый из них за 6 часов, если ученик обрабатывает за это время на 4 болванки меньше, чем мастер?

1)

Пусть $t_2$ — время в минутах, которое тратит второй рабочий на изготовление одного болта. Тогда первый рабочий тратит $t_1 = t_2 - 6$ минут.

Общее время работы составляет 7 часов. Переведем это время в минуты:
$T = 7 \text{ часов} \times 60 \text{ мин/час} = 420 \text{ минут}$.

За это время первый рабочий изготавливает $n_1 = \frac{420}{t_1} = \frac{420}{t_2 - 6}$ болтов, а второй — $n_2 = \frac{420}{t_2}$ болтов.

По условию, первый рабочий изготавливает на 8 болтов больше, чем второй, следовательно:
$n_1 - n_2 = 8$

Подставим выражения для $n_1$ и $n_2$ и решим уравнение относительно $t_2$, обозначив его как $x$:
$\frac{420}{x - 6} - \frac{420}{x} = 8$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{420x - 420(x - 6)}{x(x - 6)} = 8$
$\frac{420x - 420x + 2520}{x^2 - 6x} = 8$
$\frac{2520}{x^2 - 6x} = 8$

Умножим обе части на $x^2 - 6x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 6$):
$2520 = 8(x^2 - 6x)$
$315 = x^2 - 6x$

Получаем квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 315 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-315) = 36 + 1260 = 1296 = 36^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 36}{2}$

Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:
$x = \frac{6 + 36}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Итак, время второго рабочего $t_2 = 21$ минута. Время первого рабочего $t_1 = 21 - 6 = 15$ минут.

Теперь найдем, сколько болтов изготовит каждый за 420 минут:
Первый рабочий: $n_1 = \frac{420}{15} = 28$ болтов.
Второй рабочий: $n_2 = \frac{420}{21} = 20$ болтов.

Ответ: первый рабочий может изготовить 28 болтов, а второй — 20 болтов.

2)

Пусть $n_м$ — количество болванок, которое обработает мастер за 6 часов. По условию, ученик за то же время обработает $n_у = n_м - 4$ болванок.

Общее время работы составляет 6 часов, что равно $6 \times 60 = 360$ минут.

Выразим время, которое каждый из них тратит на одну болванку:
Время мастера: $t_м = \frac{360}{n_м}$ минут.
Время ученика: $t_у = \frac{360}{n_у} = \frac{360}{n_м - 4}$ минут.

По условию, ученик тратит на обработку одной болванки на 12 минут больше, чем мастер. Составим уравнение:
$t_у - t_м = 12$

Подставим выражения для времени, обозначив $n_м$ как $x$:
$\frac{360}{x - 4} - \frac{360}{x} = 12$

Разделим обе части уравнения на 12 для упрощения:
$\frac{30}{x - 4} - \frac{30}{x} = 1$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{30x - 30(x - 4)}{x(x - 4)} = 1$
$\frac{30x - 30x + 120}{x^2 - 4x} = 1$
$120 = x^2 - 4x$

Получаем квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 120 = 0$

Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 16 + 480 = 496$.
Поскольку дискриминант не является полным квадратом, количество болванок не будет целым числом, что указывает на возможную опечатку в условии задачи. Тем не менее, продолжим решение с заданными данными.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{496}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{496} = \sqrt{16 \cdot 31} = 4\sqrt{31}$.
$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{31}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{31}$

Так как количество болванок $x$ должно быть положительным, а $2\sqrt{31} > 2$, выбираем корень со знаком плюс:
$x = 2 + 2\sqrt{31}$

Таким образом, количество болванок, обработанных мастером:
$n_м = 2 + 2\sqrt{31} = 2(1 + \sqrt{31})$

Количество болванок, обработанных учеником:
$n_у = x - 4 = (2 + 2\sqrt{31}) - 4 = 2\sqrt{31} - 2 = 2(\sqrt{31} - 1)$

Ответ: мастер обработает $2(1 + \sqrt{31})$ болванок, а ученик — $2(\sqrt{31} - 1)$ болванок.

12.17. 1) Бассейн, содержащий $30 м^3$ воды, сначала был опорожнен, затем снова наполнен до прежнего уровня, для чего потребовалось 8 ч. Сколько времени заполнялся бассейн, если вливающий воду насос перекачивает в час на $4 м^3$ меньше, чем выливающий?

2) Аквариум объемом $1 м^3$ заполняется через два крана одновременно. Через первый кран за 1 час наливается воды на $1 м^3$ больше, чем через второй. Определите, за какое время через каждый кран в отдельности может наполниться аквариум, если через первый кран аквариум наполняется на 5 минут быстрее, чем через второй.

1)

Пусть $t_{зап}$ – время заполнения бассейна (в часах), а $t_{опор}$ – время опорожнения бассейна (в часах).
Объем бассейна $V = 30$ м³.
По условию, общее время на оба процесса составляет 8 часов:
$t_{зап} + t_{опор} = 8$

Пусть $v_{зап}$ – скорость (производительность) насоса при заполнении (в м³/ч), а $v_{опор}$ – скорость насоса при опорожнении (в м³/ч).
Связь между временем, объемом и скоростью: $t = V/v$, откуда $v = V/t$.
$v_{зап} = \frac{30}{t_{зап}}$
$v_{опор} = \frac{30}{t_{опор}}$

По условию, вливающий насос перекачивает в час на 4 м³ меньше, чем выливающий:
$v_{зап} = v_{опор} - 4$

Обозначим искомую величину, время заполнения бассейна, через $x$. Тогда $t_{зап} = x$.
Из первого уравнения следует, что $t_{опор} = 8 - x$.
Подставим эти значения в выражения для скоростей:
$v_{зап} = \frac{30}{x}$
$v_{опор} = \frac{30}{8 - x}$

Теперь подставим выражения для скоростей в уравнение, связывающее их:
$\frac{30}{x} = \frac{30}{8 - x} - 4$

Решим это уравнение. Перенесем член с дробью в левую часть:
$\frac{30}{x} - \frac{30}{8 - x} = -4$
Приведем левую часть к общему знаменателю $x(8 - x)$:
$\frac{30(8 - x) - 30x}{x(8 - x)} = -4$
$\frac{240 - 30x - 30x}{8x - x^2} = -4$
$\frac{240 - 60x}{8x - x^2} = -4$

Умножим обе части на знаменатель $8x - x^2$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 8$):
$240 - 60x = -4(8x - x^2)$
$240 - 60x = -32x + 4x^2$
$4x^2 + 60x - 32x - 240 = 0$
$4x^2 + 28x - 240 = 0$

Разделим уравнение на 4 для упрощения:
$x^2 + 7x - 60 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$
$\sqrt{D} = 17$
$x_1 = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
$x_2 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Поскольку время ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_1 = -12$ не является решением задачи.
Следовательно, время заполнения бассейна равно 5 часам.

Ответ: 5 часов.

2)

Пусть $v_1$ и $v_2$ – производительности (скорости заполнения) первого и второго кранов соответственно (в м³/ч).
Объем аквариума $V = 1$ м³.
По условию, первый кран за 1 час наливает на 1 м³ воды больше, чем второй:
$v_1 = v_2 + 1$

Пусть $t_1$ и $t_2$ – время (в часах), за которое аквариум может наполниться через каждый кран в отдельности.
$t_1 = \frac{V}{v_1} = \frac{1}{v_1}$
$t_2 = \frac{V}{v_2} = \frac{1}{v_2}$

По условию, первый кран наполняет аквариум на 5 минут быстрее второго. Переведем разницу времени в часы:
$5 \text{ минут} = \frac{5}{60} \text{ часа} = \frac{1}{12} \text{ часа}$
Таким образом, $t_2 - t_1 = \frac{1}{12}$.

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_1} = \frac{1}{12}$

Теперь используем соотношение $v_1 = v_2 + 1$ и подставим его в полученное уравнение:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_2 + 1} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_2(v_2 + 1)$:
$\frac{(v_2 + 1) - v_2}{v_2(v_2 + 1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{v_2^2 + v_2} = \frac{1}{12}$

Из этого следует равенство знаменателей:
$v_2^2 + v_2 = 12$
$v_2^2 + v_2 - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
$(v_2)_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4$
$(v_2)_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$

Производительность не может быть отрицательной, поэтому $v_2 = 3$ м³/ч.
Тогда производительность первого крана: $v_1 = v_2 + 1 = 3 + 1 = 4$ м³/ч.

Найдем время наполнения для каждого крана:
Время для первого крана: $t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{4}$ часа. В минутах: $\frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ минут.
Время для второго крана: $t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{3}$ часа. В минутах: $\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ минут.

Ответ: первый кран может наполнить аквариум за 15 минут, а второй – за 20 минут.