Номер 12.14, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.14.

1)

Две бригады рабочих должны к некоторому сроку изготовить по 300 деталей. Первая бригада, изготовляя в день на 10 деталей больше второй, затратила на выполнение задания на 1 день меньше. Сколько деталей в день изготовливала каждая бригада?

2)

На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 1 минуту меньше, чем второй. Сколько деталей обработает каждый из них за 0,7 часа, если первый обрабатывает за это время на одну деталь больше, чем второй?

1)

Пусть $x$ деталей в день изготавливала вторая бригада. Тогда, согласно условию, первая бригада изготавливала $(x + 10)$ деталей в день.

Общий объем работы для каждой бригады составляет 300 деталей.

Время, которое затратила вторая бригада на выполнение задания, составляет $T_2 = \frac{300}{x}$ дней.

Время, которое затратила первая бригада на выполнение задания, составляет $T_1 = \frac{300}{x + 10}$ дней.

По условию, первая бригада затратила на 1 день меньше, чем вторая. Это можно выразить уравнением: $T_2 - T_1 = 1$.

Подставим выражения для $T_1$ и $T_2$:

$\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 10} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 10)$:

$\frac{300(x + 10) - 300x}{x(x + 10)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{300x + 3000 - 300x}{x^2 + 10x} = 1$

$\frac{3000}{x^2 + 10x} = 1$

Умножим обе части на знаменатель, при условии что $x \neq 0$ и $x \neq -10$, что выполняется по смыслу задачи:

$x^2 + 10x = 3000$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Найдем корни уравнения:

$x_{1} = \frac{-10 + \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_{2} = \frac{-10 - \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как количество деталей, изготавливаемых в день, не может быть отрицательным, корень $x_2 = -60$ не является решением задачи.

Следовательно, производительность второй бригады составляет $x = 50$ деталей в день.

Производительность первой бригады составляет $x + 10 = 50 + 10 = 60$ деталей в день.

Ответ: первая бригада изготавливала 60 деталей в день, вторая бригада — 50 деталей в день.

2)

Сначала переведем общее время работы в минуты для удобства вычислений:

$0,7 \text{ часа} = 0,7 \times 60 = 42 \text{ минуты}$.

Пусть $t$ минут — это время, которое второй рабочий затрачивает на обработку одной детали.

Тогда, по условию, первый рабочий затрачивает на одну деталь на 1 минуту меньше, то есть $(t - 1)$ минуту.

За 42 минуты первый рабочий обработает $N_1 = \frac{42}{t - 1}$ деталей.

За 42 минуты второй рабочий обработает $N_2 = \frac{42}{t}$ деталей.

Известно, что первый рабочий за это время обрабатывает на одну деталь больше, чем второй. Составим уравнение: $N_1 - N_2 = 1$.

$\frac{42}{t - 1} - \frac{42}{t} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $t(t - 1)$:

$\frac{42t - 42(t - 1)}{t(t - 1)} = 1$

$\frac{42t - 42t + 42}{t^2 - t} = 1$

$\frac{42}{t^2 - t} = 1$

При условии, что $t \neq 0$ и $t \neq 1$, получим:

$t^2 - t = 42$

$t^2 - t - 42 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -42. Легко подобрать корни: 7 и -6.

$t_1 = 7$

$t_2 = -6$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -6$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, второй рабочий тратит на одну деталь $t = 7$ минут.

Первый рабочий тратит на одну деталь $t - 1 = 7 - 1 = 6$ минут.

Теперь найдем, сколько деталей обработает каждый рабочий за 42 минуты (0,7 часа):

Количество деталей, обработанных первым рабочим: $\frac{42 \text{ мин}}{6 \text{ мин/деталь}} = 7$ деталей.

Количество деталей, обработанных вторым рабочим: $\frac{42 \text{ мин}}{7 \text{ мин/деталь}} = 6$ деталей.

Ответ: за 0,7 часа первый рабочий обработает 7 деталей, а второй — 6 деталей.