Номер 12.9, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.9.

1) Байдарка проплыла по течению реки 4 км, против течения — 6 км, затратив на весь путь 2 часа. Найдите скорость байдарки по течению, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2) Планер, пролетев 15 км по направлению ветра, развернулся и пролетел 10 км против ветра, затратив на весь путь 1 час. Найдите скорость планера против ветра, если скорость ветра равна 5 км/ч.

1)Пусть собственная скорость байдарки равна $x$ км/ч. Тогда скорость байдарки по течению реки (скорость сближения) равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения (скорость удаления) — $(x - 2)$ км/ч. При этом, чтобы байдарка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.
Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t = S/v$ и составляет $t_1 = \frac{4}{x+2}$ часа.
Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_2 = \frac{6}{x-2}$ часа.
Общее время в пути составляет 2 часа, следовательно, мы можем составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 2$
$\frac{4}{x+2} + \frac{6}{x-2} = 2$
Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$:
$\frac{4(x-2) + 6(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 2$
Так как $x > 2$, знаменатель не равен нулю. Умножим обе части на $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$:
$4(x-2) + 6(x+2) = 2(x^2 - 4)$
$4x - 8 + 6x + 12 = 2x^2 - 8$
$10x + 4 = 2x^2 - 8$
$2x^2 - 10x - 12 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:
$x^2 - 5x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -6, а сумма равна 5. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -1$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, собственная скорость байдарки равна $6$ км/ч. Это удовлетворяет условию $x > 2$.
В задаче требуется найти скорость байдарки по течению.
Скорость по течению равна $x + 2 = 6 + 2 = 8$ км/ч.
Ответ: 8 км/ч.

2)Пусть собственная скорость планера в безветренную погоду равна $y$ км/ч. Тогда скорость планера по направлению ветра равна $(y + 5)$ км/ч, а скорость против ветра — $(y - 5)$ км/ч. Для того чтобы планер мог лететь против ветра, его собственная скорость должна быть больше скорости ветра, то есть $y > 5$.
Время, затраченное на полет по ветру, составляет $t_1 = \frac{15}{y+5}$ часа.
Время, затраченное на полет против ветра, составляет $t_2 = \frac{10}{y-5}$ часа.
Общее время полета составляет 1 час, что позволяет составить уравнение:
$\frac{15}{y+5} + \frac{10}{y-5} = 1$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y+5)(y-5)$:
$\frac{15(y-5) + 10(y+5)}{(y+5)(y-5)} = 1$
Так как $y > 5$, знаменатель не равен нулю. Умножим обе части на $(y+5)(y-5) = y^2 - 25$:
$15(y-5) + 10(y+5) = y^2 - 25$
$15y - 75 + 10y + 50 = y^2 - 25$
$25y - 25 = y^2 - 25$
Перенесем все члены в одну сторону:
$y^2 - 25y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(y - 25) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 25$.
Корень $y_1 = 0$ не удовлетворяет условию $y > 5$. Следовательно, собственная скорость планера равна $25$ км/ч.
В задаче требуется найти скорость планера против ветра.
Скорость против ветра равна $y - 5 = 25 - 5 = 20$ км/ч.
Ответ: 20 км/ч.