Номер 12.3, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.3.

1) Теплоход прошел 4 км против течения реки, затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 час. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

2) Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Найдите скорость течения реки, если известно, что она не превосходит 5 км/ч, а скорость моторной лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

1)

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде). Нам нужно найти $x$.

Скорость течения реки по условию равна 6,5 км/ч.
Тогда скорость теплохода по течению реки составляет $(x + 6,5)$ км/ч.
Скорость теплохода против течения реки составляет $(x - 6,5)$ км/ч.
Для движения против течения скорость теплохода должна быть больше скорости течения, то есть $x > 6,5$.

Теплоход прошел 4 км против течения, затратив на это время $t_1 = \frac{4}{x - 6,5}$ часа.
Затем он прошел 33 км по течению, затратив на это время $t_2 = \frac{33}{x + 6,5}$ часа.

Общее время в пути составило 1 час, следовательно, мы можем составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 1$
$\frac{4}{x - 6,5} + \frac{33}{x + 6,5} = 1$

Решим это уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $(x - 6,5)(x + 6,5)$, который не равен нулю при $x > 6,5$.
$4(x + 6,5) + 33(x - 6,5) = (x - 6,5)(x + 6,5)$
$4x + 26 + 33x - 214,5 = x^2 - (6,5)^2$
$37x - 188,5 = x^2 - 42,25$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 37x - 42,25 + 188,5 = 0$
$x^2 - 37x + 146,25 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
$4x^2 - 148x + 585 = 0$

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-148)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 585 = 21904 - 9360 = 12544$
$\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{148 + 112}{2 \cdot 4} = \frac{260}{8} = 32,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{148 - 112}{2 \cdot 4} = \frac{36}{8} = 4,5$

Проверим корни на соответствие условию $x > 6,5$.
Корень $x_1 = 32,5$ удовлетворяет условию, так как $32,5 > 6,5$.
Корень $x_2 = 4,5$ не удовлетворяет условию, так как $4,5 < 6,5$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, скорость теплохода в стоячей воде равна 32,5 км/ч.
Ответ: 32,5 км/ч.

2)

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Нам нужно найти $x$.

Собственная скорость моторной лодки по условию равна 12 км/ч.
По условию, скорость течения не превосходит 5 км/ч, то есть $0 < x \le 5$. Также для движения против течения должно выполняться условие $x < 12$.

Скорость лодки по течению реки составляет $(12 + x)$ км/ч.
Скорость лодки против течения реки составляет $(12 - x)$ км/ч.

Лодка прошла 25 км по течению, затратив на это время $t_1 = \frac{25}{12 + x}$ часа.
Затем она прошла 3 км против течения, затратив на это время $t_2 = \frac{3}{12 - x}$ часа.

Общее время в пути составило 2 часа, следовательно, мы можем составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 2$
$\frac{25}{12 + x} + \frac{3}{12 - x} = 2$

Решим это уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $(12 + x)(12 - x)$, который не равен нулю при $0 < x \le 5$.
$25(12 - x) + 3(12 + x) = 2(12 + x)(12 - x)$
$300 - 25x + 36 + 3x = 2(144 - x^2)$
$336 - 22x = 288 - 2x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - 22x + 336 - 288 = 0$
$2x^2 - 22x + 48 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 11x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 24. Корни: 3 и 8.
Либо через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$
$\sqrt{D} = 5$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Проверим корни на соответствие условию $0 < x \le 5$.
Корень $x_1 = 8$ не удовлетворяет условию, так как $8 > 5$.
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию, так как $0 < 3 \le 5$.

Следовательно, скорость течения реки равна 3 км/ч.
Ответ: 3 км/ч.