Номер 12.4, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.4.

1) Теплоход прошел по течению реки $48 \text{ км}$ и столько же обратно, затратив на весь путь $5 \text{ ч}$. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна $4 \text{ км/ч}$.

2) Глиссер, собственная скорость которого равна $20 \text{ км/ч}$, прошел по реке $60 \text{ км}$ и вернулся обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь глиссер затратил $6,25 \text{ ч}$.

1)

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода. Тогда скорость теплохода по течению реки равна $(x + 4)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 4)$ км/ч. Заметим, что для движения против течения собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 4$.

Время, затраченное на путь по течению на расстояние 48 км, составляет $t_1 = \frac{48}{x+4}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь против течения на то же расстояние, составляет $t_2 = \frac{48}{x-4}$ часов.

Общее время в пути равно 5 часам, поэтому можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$t_1 + t_2 = 5$

$\frac{48}{x+4} + \frac{48}{x-4} = 5$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+4)(x-4) = x^2 - 16$:

$\frac{48(x-4) + 48(x+4)}{x^2 - 16} = 5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{48x - 192 + 48x + 192}{x^2 - 16} = 5$

$\frac{96x}{x^2 - 16} = 5$

Умножим обе части уравнения на $(x^2 - 16)$, при условии что $x^2 - 16 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 4$. Условие $x > 4$ это гарантирует.

$96x = 5(x^2 - 16)$

$96x = 5x^2 - 80$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5x^2 - 96x - 80 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-96)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80) = 9216 + 1600 = 10816$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{10816} = 104$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{96 + 104}{2 \cdot 5} = \frac{200}{10} = 20$

$x_2 = \frac{96 - 104}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -0.8$ не подходит по физическому смыслу. Корень $x_1 = 20$ удовлетворяет условию $x > 4$.

Следовательно, собственная скорость теплохода равна 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.

2)

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Собственная скорость глиссера известна и равна 20 км/ч.

Тогда скорость глиссера по течению реки равна $(20 + x)$ км/ч, а скорость против течения — $(20 - x)$ км/ч. Для того чтобы глиссер мог вернуться обратно, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $0 < x < 20$.

Время, затраченное на путь по течению на расстояние 60 км, составляет $t_1 = \frac{60}{20+x}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь против течения, составляет $t_2 = \frac{60}{20-x}$ часов.

Общее время в пути равно 6,25 часа. Составим уравнение:

$\frac{60}{20+x} + \frac{60}{20-x} = 6.25$

Представим десятичную дробь 6,25 в виде обыкновенной дроби для удобства вычислений: $6.25 = 6 \frac{25}{100} = 6 \frac{1}{4} = \frac{25}{4}$.

$\frac{60(20-x) + 60(20+x)}{(20+x)(20-x)} = \frac{25}{4}$

Упростим числитель и знаменатель левой части:

$\frac{1200 - 60x + 1200 + 60x}{400 - x^2} = \frac{25}{4}$

$\frac{2400}{400 - x^2} = \frac{25}{4}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2400 \cdot 4 = 25 \cdot (400 - x^2)$

$9600 = 10000 - 25x^2$

Перенесем члены уравнения, чтобы выразить $x^2$:

$25x^2 = 10000 - 9600$

$25x^2 = 400$

$x^2 = \frac{400}{25}$

$x^2 = 16$

Из этого следует, что $x = \sqrt{16} = 4$ или $x = -\sqrt{16} = -4$.

Так как скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, корень $x = -4$ не подходит. Корень $x=4$ удовлетворяет условию $0 < x < 20$.

Следовательно, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.