Номер 12.7, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.7. 1) Расстояние по реке между двумя пристанями равно 24 км. Двигаясь вниз по течению, катер проходит этот путь на 30 минут быстрее, чем в обратном направлении. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2) Яхта прошла по течению реки 9 км и столько же против течения. На путь по течению затрачено на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость яхты в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

1) Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость катера по течению реки равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 2)$ км/ч. Расстояние между пристанями составляет 24 км.

Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{24}{x+2}$ часа. Время, затраченное на обратный путь (против течения), составляет $t_2 = \frac{24}{x-2}$ часа.

По условию задачи, на путь по течению катер затратил на 30 минут (то есть на $0.5$ часа) меньше, чем на путь против течения. Это означает, что время движения против течения на $0.5$ часа больше, чем время движения по течению. Составим уравнение, исходя из этой разницы:

$t_2 - t_1 = 0.5$

$\frac{24}{x-2} - \frac{24}{x+2} = 0.5$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$:

$\frac{24(x+2) - 24(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 0.5$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{24x + 48 - 24x + 48}{x^2 - 4} = 0.5$

$\frac{96}{x^2 - 4} = 0.5$

Теперь решим полученное уравнение. Умножим обе части на $(x^2 - 4)$, при условии что $x^2-4 \neq 0$ (т.е. $x \neq \pm 2$):

$96 = 0.5(x^2 - 4)$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$192 = x^2 - 4$

Перенесем -4 в левую часть:

$x^2 = 192 + 4$

$x^2 = 196$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{196}$

$x_1 = 14$, $x_2 = -14$.

Поскольку собственная скорость катера не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -14$ не подходит по смыслу задачи. Собственная скорость катера должна быть больше скорости течения ($x > 2$), что выполняется для $x=14$.

Ответ: 14 км/ч.

2) Пусть $y$ км/ч — скорость яхты в стоячей воде. Тогда скорость яхты по течению реки равна $(y + 3)$ км/ч, а ее скорость против течения — $(y - 3)$ км/ч. Расстояние, пройденное в каждом направлении, составляет 9 км.

Время, которое яхта затратила на путь по течению, равно $t_{по} = \frac{9}{y+3}$ часа. Время, которое яхта затратила на путь против течения, равно $t_{против} = \frac{9}{y-3}$ часа.

Согласно условию, на путь по течению было затрачено на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Это можно выразить уравнением:

$t_{против} - t_{по} = 2$

$\frac{9}{y-3} - \frac{9}{y+3} = 2$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(y-3)(y+3) = y^2-9$:

$\frac{9(y+3) - 9(y-3)}{(y-3)(y+3)} = 2$

Упростим числитель:

$\frac{9y + 27 - 9y + 27}{y^2 - 9} = 2$

$\frac{54}{y^2 - 9} = 2$

Теперь решим полученное уравнение, умножив обе части на $(y^2 - 9)$, при условии, что $y \neq \pm 3$:

$54 = 2(y^2 - 9)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$27 = y^2 - 9$

Перенесем -9 в левую часть:

$y^2 = 27 + 9$

$y^2 = 36$

Извлечем квадратный корень:

$y = \pm\sqrt{36}$

$y_1 = 6$, $y_2 = -6$.

Скорость яхты не может быть отрицательной, поэтому корень $y_2 = -6$ не является решением задачи. Для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость была больше скорости течения ($y > 3$), что выполняется для $y=6$.

Ответ: 6 км/ч.