Номер 12.10, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 12. Решение текстовых задач с помощью квадратного уравнения. Глава 2. Квадратные уравнения - номер 12.10, страница 103.

Условие.

12.10. Автомобиль двигался по проселочной дороге с постоянной скоростью. Из-за плохого состояния дороги ему пришлось задержаться на 6 минут. Затем он увеличил скорость на 4 км/ч и ликвидировал опоздание, проехав еще 36 км. Найдите первоначальную скорость автомобиля.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автомобиля. Тогда после увеличения скорости она стала равна $(v + 4)$ км/ч.
Время задержки составляет 6 минут. Переведем это время в часы:
$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$.
Автомобиль ликвидировал опоздание на участке пути в 36 км. Это означает, что время, которое он сэкономил, проехав этот участок с увеличенной скоростью, равно времени задержки.
Время, которое автомобиль затратил бы на 36 км с первоначальной скоростью, равно $t_1 = \frac{36}{v}$ ч.
Время, которое автомобиль фактически затратил на 36 км с новой скоростью, равно $t_2 = \frac{36}{v+4}$ ч.
Разница во времени составляет $\frac{1}{10}$ часа, поэтому мы можем составить уравнение:
$t_1 - t_2 = \frac{1}{10}$
$\frac{36}{v} - \frac{36}{v+4} = \frac{1}{10}$
Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+4)$:
$\frac{36(v+4) - 36v}{v(v+4)} = \frac{1}{10}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{36v + 144 - 36v}{v^2 + 4v} = \frac{1}{10}$
$\frac{144}{v^2 + 4v} = \frac{1}{10}$
Используя свойство пропорции (крест-накрест), получим:
$1 \cdot (v^2 + 4v) = 144 \cdot 10$
$v^2 + 4v = 1440$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 4v - 1440 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 16 + 5760 = 5776$
Найдем корни уравнения:
$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{5776}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 76}{2}$
Получаем два корня:
$v_1 = \frac{-4 + 76}{2} = \frac{72}{2} = 36$
$v_2 = \frac{-4 - 76}{2} = \frac{-80}{2} = -40$
Поскольку скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -40$ не является решением задачи.
Следовательно, первоначальная скорость автомобиля составляла 36 км/ч.
Ответ: 36 км/ч.