Номер 12.12, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.12. 1) Катер прошел по течению реки 5 км, против течения — 12 км, затратив на весь путь время, нужное для прохождения 18 км по озеру. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна $3 \text{ км/ч}$.

2) Моторная лодка прошла по течению реки 10 км, против течения — 15 км, затратив на весь путь 1 час 10 минут. Найдите скорость лодки по течению, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$.

1)

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость катера по течению реки равна $(x + 3)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(x - 3)$ км/ч. Скорость катера по озеру равна его собственной скорости, то есть $x$ км/ч.

Катер прошел 5 км по течению реки, затратив на это время $t_1 = \frac{5}{x+3}$ часов.

Затем он прошел 12 км против течения, затратив время $t_2 = \frac{12}{x-3}$ часов.

Общее время движения по реке составляет $T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{5}{x+3} + \frac{12}{x-3}$ часов.

Время, нужное для прохождения 18 км по озеру, составляет $T_{озеро} = \frac{18}{x}$ часов.

По условию задачи, эти времена равны: $T_{река} = T_{озеро}$. Составим уравнение:

$\frac{5}{x+3} + \frac{12}{x-3} = \frac{18}{x}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{5(x-3) + 12(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{18}{x}$

$\frac{5x - 15 + 12x + 36}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}$

$\frac{17x + 21}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}$

Воспользуемся свойством пропорции. Заметим, что собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, чтобы он мог двигаться против течения, то есть $x > 3$.

$x(17x + 21) = 18(x^2 - 9)$

$17x^2 + 21x = 18x^2 - 162$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$18x^2 - 17x^2 - 21x - 162 = 0$

$x^2 - 21x - 162 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089$

$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -6$ не является решением задачи. Собственная скорость катера $x = 27$ км/ч удовлетворяет условию $x > 3$.

Ответ: собственная скорость катера равна 27 км/ч.

2)

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 2)$ км/ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 1 час 10 минут. Переведем это время в часы:

$1 \text{ час } 10 \text{ мин} = 1 + \frac{10}{60} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$ часа.

Время, затраченное на путь 10 км по течению, равно $t_1 = \frac{10}{x+2}$ часов.

Время, затраченное на путь 15 км против течения, равно $t_2 = \frac{15}{x-2}$ часов.

Общее время движения равно сумме $t_1$ и $t_2$. Составим уравнение:

$\frac{10}{x+2} + \frac{15}{x-2} = \frac{7}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю. Заметим, что $x > 2$.

$\frac{10(x-2) + 15(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{7}{6}$

$\frac{10x - 20 + 15x + 30}{x^2 - 4} = \frac{7}{6}$

$\frac{25x + 10}{x^2 - 4} = \frac{7}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$6(25x + 10) = 7(x^2 - 4)$

$150x + 60 = 7x^2 - 28$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$7x^2 - 150x - 88 = 0$

Решим это уравнение:

$D = b^2 - 4ac = (-150)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-88) = 22500 + 2464 = 24964$

$\sqrt{D} = \sqrt{24964} = 158$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{150 + 158}{2 \cdot 7} = \frac{308}{14} = 22$

$x_2 = \frac{150 - 158}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому собственная скорость лодки равна 22 км/ч. Это удовлетворяет условию $x > 2$.

В задаче требуется найти скорость лодки по течению:

$v_{по течению} = x + 2 = 22 + 2 = 24$ км/ч.

Ответ: скорость лодки по течению равна 24 км/ч.