Номер 12.18, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.18. Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на эту работу каждой бригаде в отдельности, если одна из них может выполнить работу на 15 дней быстрее другой?

Это задача на совместную работу. Примем весь объем работы (посадку всех деревьев) за единицу (1).

Пусть время, за которое первая (более быстрая) бригада может выполнить всю работу в одиночку, равно $x$ дней. Тогда ее производительность (часть работы, выполняемая за 1 день) составит $\frac{1}{x}$.

По условию, вторая бригада может выполнить ту же работу на 15 дней медленнее, то есть за $(x + 15)$ дней. Ее производительность, соответственно, равна $\frac{1}{x+15}$.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность двух бригад равна: $P_{общ} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+15}$

Из условия известно, что всю работу вместе они выполняют за 4 дня. Это значит, что их совместная производительность равна $\frac{1}{4}$ всей работы в день.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для совместной производительности: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+15} = \frac{1}{4}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $\frac{x+15}{x(x+15)} + \frac{x}{x(x+15)} = \frac{1}{4}$

$\frac{2x+15}{x^2+15x} = \frac{1}{4}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим: $4(2x+15) = 1(x^2+15x)$

$8x + 60 = x^2 + 15x$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 15x - 8x - 60 = 0$

$x^2 + 7x - 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку $x$ представляет собой количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -12$ не является решением задачи.

Таким образом, время, необходимое первой, более быстрой, бригаде для выполнения всей работы, составляет 5 дней.

Время для второй бригады будет на 15 дней больше: $x + 15 = 5 + 15 = 20$ дней.

Ответ: одной бригаде потребовалось бы 5 дней, а другой — 20 дней.