Номер 12.24, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.24. Двое рабочих на автокаре разгружали баржу с продуктами. Первый разгружал на 50 ц в час больше второго и разгрузил 300 ц, при этом он работал на 2 часа меньше второго. Второй рабочий разгрузил 250 ц. Сколько часов работал каждый рабочий?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это время, которое работал второй рабочий, в часах. Согласно условию, первый рабочий работал на 2 часа меньше, следовательно, время его работы составляет $(x-2)$ часа. Так как время работы должно быть положительной величиной, то $x > 2$.

Зная объем выполненной работы и время, можно найти производительность каждого рабочего (скорость разгрузки). Объем работы первого рабочего равен 300 ц, а второго — 250 ц.

Производительность второго рабочего: $v_2 = \frac{250}{x}$ ц/ч.

Производительность первого рабочего: $v_1 = \frac{300}{x-2}$ ц/ч.

По условию задачи, первый рабочий разгружал на 50 ц в час больше второго. Это можно выразить уравнением: $v_1 = v_2 + 50$ или $v_1 - v_2 = 50$. Подставим в это уравнение выражения для производительностей:

$\frac{300}{x-2} - \frac{250}{x} = 50$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{300x - 250(x-2)}{x(x-2)} = 50$

$\frac{300x - 250x + 500}{x^2 - 2x} = 50$

$\frac{50x + 500}{x^2 - 2x} = 50$

Так как мы установили, что $x>2$, знаменатель $x(x-2)$ не равен нулю. Умножим обе части уравнения на знаменатель и разделим на 50:

$50x + 500 = 50(x^2 - 2x)$

$x + 10 = x^2 - 2x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - x - 10 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно -10. Этим условиям удовлетворяют числа 5 и -2. Или можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{3+7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{3-7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательным (а также условию $x>2$). Следовательно, время работы второго рабочего составляет $x = 5$ часов.

Теперь найдем время работы первого рабочего:

$x - 2 = 5 - 2 = 3$ часа.

Ответ: первый рабочий работал 3 часа, второй рабочий работал 5 часов.