Номер 12.23, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.23. Бригада рабочих обязалась изготовить 432 шины для колес, но 4 рабочих заболели и не вышли на работу. Чтобы выполнить обязательство, каждому из оставшихся пришлось изготавливать на 9 шин в день больше. Сколько рабочих числилось в бригаде?

Пусть $x$ — первоначальное количество рабочих в бригаде, а $y$ — плановая производительность одного рабочего (количество шин в день).

По условию, бригада должна была изготовить 432 шины. Это можно выразить уравнением:
$x \cdot y = 432$

Четыре рабочих заболели, поэтому на работу вышло $x - 4$ человек. Чтобы выполнить план, каждому из них пришлось изготавливать на 9 шин больше, то есть их производительность стала $y + 9$ шин в день. Общее количество изготовленных шин осталось тем же — 432. Составим второе уравнение:
$(x - 4)(y + 9) = 432$

Получили систему уравнений:
$\begin{cases} xy = 432 \\ (x-4)(y+9) = 432 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$:
$y = \frac{432}{x}$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$(x - 4)(\frac{432}{x} + 9) = 432$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$x \cdot \frac{432}{x} + 9x - 4 \cdot \frac{432}{x} - 4 \cdot 9 = 432$
$432 + 9x - \frac{1728}{x} - 36 = 432$

Вычтем 432 из обеих частей уравнения и приведем подобные слагаемые:
$9x - \frac{1728}{x} - 36 = 0$

Умножим все члены уравнения на $x$ (при условии, что $x \ne 0$, что очевидно из условия задачи):
$9x^2 - 36x - 1728 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 9:
$x^2 - 4x - 192 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$
$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-4) + 28}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 28}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{-(-4) - 28}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 28}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку количество рабочих не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, в бригаде первоначально числилось 16 рабочих.

Ответ: 16 рабочих.