Номер 12.16, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.16. 1) Один рабочий затрачивает на изготовление одного болта на 6 минут меньше, чем второй. Сколько болтов может изготовить каждый из них за 7 часов, если первый обрабатывает за это время на 8 болтов больше?

2) Ученик тратит на обработку одной болванки на 12 минут больше, чем мастер. Сколько болванок обработает каждый из них за 6 часов, если ученик обрабатывает за это время на 4 болванки меньше, чем мастер?

1)

Пусть $t_2$ — время в минутах, которое тратит второй рабочий на изготовление одного болта. Тогда первый рабочий тратит $t_1 = t_2 - 6$ минут.

Общее время работы составляет 7 часов. Переведем это время в минуты:
$T = 7 \text{ часов} \times 60 \text{ мин/час} = 420 \text{ минут}$.

За это время первый рабочий изготавливает $n_1 = \frac{420}{t_1} = \frac{420}{t_2 - 6}$ болтов, а второй — $n_2 = \frac{420}{t_2}$ болтов.

По условию, первый рабочий изготавливает на 8 болтов больше, чем второй, следовательно:
$n_1 - n_2 = 8$

Подставим выражения для $n_1$ и $n_2$ и решим уравнение относительно $t_2$, обозначив его как $x$:
$\frac{420}{x - 6} - \frac{420}{x} = 8$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{420x - 420(x - 6)}{x(x - 6)} = 8$
$\frac{420x - 420x + 2520}{x^2 - 6x} = 8$
$\frac{2520}{x^2 - 6x} = 8$

Умножим обе части на $x^2 - 6x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 6$):
$2520 = 8(x^2 - 6x)$
$315 = x^2 - 6x$

Получаем квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 315 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-315) = 36 + 1260 = 1296 = 36^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 36}{2}$

Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:
$x = \frac{6 + 36}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Итак, время второго рабочего $t_2 = 21$ минута. Время первого рабочего $t_1 = 21 - 6 = 15$ минут.

Теперь найдем, сколько болтов изготовит каждый за 420 минут:
Первый рабочий: $n_1 = \frac{420}{15} = 28$ болтов.
Второй рабочий: $n_2 = \frac{420}{21} = 20$ болтов.

Ответ: первый рабочий может изготовить 28 болтов, а второй — 20 болтов.

2)

Пусть $n_м$ — количество болванок, которое обработает мастер за 6 часов. По условию, ученик за то же время обработает $n_у = n_м - 4$ болванок.

Общее время работы составляет 6 часов, что равно $6 \times 60 = 360$ минут.

Выразим время, которое каждый из них тратит на одну болванку:
Время мастера: $t_м = \frac{360}{n_м}$ минут.
Время ученика: $t_у = \frac{360}{n_у} = \frac{360}{n_м - 4}$ минут.

По условию, ученик тратит на обработку одной болванки на 12 минут больше, чем мастер. Составим уравнение:
$t_у - t_м = 12$

Подставим выражения для времени, обозначив $n_м$ как $x$:
$\frac{360}{x - 4} - \frac{360}{x} = 12$

Разделим обе части уравнения на 12 для упрощения:
$\frac{30}{x - 4} - \frac{30}{x} = 1$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{30x - 30(x - 4)}{x(x - 4)} = 1$
$\frac{30x - 30x + 120}{x^2 - 4x} = 1$
$120 = x^2 - 4x$

Получаем квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 120 = 0$

Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 16 + 480 = 496$.
Поскольку дискриминант не является полным квадратом, количество болванок не будет целым числом, что указывает на возможную опечатку в условии задачи. Тем не менее, продолжим решение с заданными данными.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{496}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{496} = \sqrt{16 \cdot 31} = 4\sqrt{31}$.
$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{31}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{31}$

Так как количество болванок $x$ должно быть положительным, а $2\sqrt{31} > 2$, выбираем корень со знаком плюс:
$x = 2 + 2\sqrt{31}$

Таким образом, количество болванок, обработанных мастером:
$n_м = 2 + 2\sqrt{31} = 2(1 + \sqrt{31})$

Количество болванок, обработанных учеником:
$n_у = x - 4 = (2 + 2\sqrt{31}) - 4 = 2\sqrt{31} - 2 = 2(\sqrt{31} - 1)$

Ответ: мастер обработает $2(1 + \sqrt{31})$ болванок, а ученик — $2(\sqrt{31} - 1)$ болванок.