Номер 12.15, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.15. 1) Оператор ЭВМ, работая вместе с учеником, обрабатывает задачу за 2 часа 24 минуты. Сколько времени потребовалось бы каждому из них на обработку задачи в отдельности, если ученику нужно для этого на 2 часа больше, чем оператору?

2) Заболевшего секретаря-референта заменили две ученицы-практикантки, причем одной из них нужно на перепечатку рукописи в 3 раза больше времени, чем заболевшему референту, второй — в 2 раза. За какое время одна практикантка может перепечатать рукопись, если известно, что работая вдвоем, они могут выполнить эту работу за 6 часов?

1)

Примем всю работу по обработке задачи за 1. Обозначим за $x$ время в часах, которое требуется оператору ЭВМ для выполнения всей задачи в одиночку. Тогда его производительность (часть задачи, выполняемая за час) равна $\frac{1}{x}$.

Согласно условию, ученику для выполнения этой же задачи требуется на 2 часа больше, то есть $x + 2$ часа. Его производительность равна $\frac{1}{x+2}$.

Работая вместе, они обрабатывают задачу за 2 часа 24 минуты. Переведем это время в часы для удобства расчетов:

$2 \text{ часа } 24 \text{ минуты} = 2 + \frac{24}{60} \text{ часа} = 2 + \frac{2}{5} \text{ часа} = 2.4 \text{ часа} = \frac{12}{5} \text{ часа}$.

Совместная производительность равна сумме их производительностей и в то же время обратна времени совместной работы:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$

Теперь решим полученное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x+2+x}{x(x+2)} = \frac{5}{12}$

$\frac{2x+2}{x^2+2x} = \frac{5}{12}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$12(2x+2) = 5(x^2+2x)$

$24x + 24 = 5x^2 + 10x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 + 10x - 24x - 24 = 0$

$5x^2 - 14x - 24 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 196 + 480 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 26}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 26}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$

Поскольку время не может быть отрицательным, нам подходит только корень $x_1 = 4$.

Итак, время оператора на выполнение задачи — 4 часа.

Время ученика — $x + 2 = 4 + 2 = 6$ часов.

Ответ: оператору потребовалось бы 4 часа, а ученику — 6 часов.

2)

Примем всю работу по перепечатке рукописи за 1. Обозначим за $x$ время в часах, которое требуется заболевшему секретарю-референту для выполнения всей работы.

По условию, первой ученице-практикантке нужно в 3 раза больше времени, чем референту. Значит, ее время работы — $3x$ часов, а ее производительность — $\frac{1}{3x}$.

Второй практикантке нужно в 2 раза больше времени, чем референту. Значит, ее время работы — $2x$ часов, а ее производительность — $\frac{1}{2x}$.

Работая вдвоем, практикантки выполняют работу за 6 часов. Их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$.

Совместная производительность также равна сумме их индивидуальных производительностей. Составим уравнение:

$\frac{1}{3x} + \frac{1}{2x} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $6x$:

$\frac{2}{6x} + \frac{3}{6x} = \frac{1}{6}$

$\frac{5}{6x} = \frac{1}{6}$

Из этого уравнения следует, что числители должны быть равны, если равны знаменатели, то есть $5 = x$.

Таким образом, время, которое потребовалось бы секретарю-референту, составляет 5 часов.

Теперь найдем, сколько времени требуется каждой из практиканток в отдельности:

Время первой практикантки: $3x = 3 \cdot 5 = 15$ часов.

Время второй практикантки: $2x = 2 \cdot 5 = 10$ часов.

Вопрос "За какое время одна практикантка может перепечатать рукопись" не уточняет, о какой из них идет речь, поэтому следует указать оба значения.

Ответ: одна практикантка может перепечатать рукопись за 15 часов, а другая — за 10 часов.