Номер 12.20, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.20. Двое рабочих могут отремонтировать квартиру за 7 дней. Второй рабочий приступил к работе на 1,5 дня позже первого. Если бы ремонт выполнял каждый в отдельности, то первому рабочему потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый из них, работая в отдельности, может выполнить ремонт квартиры?

Пусть время, за которое второй рабочий может выполнить всю работу самостоятельно, равно $x$ дней. Тогда, согласно условию, первому рабочему на ту же работу потребуется $(x+3)$ дня.

Производительность труда (часть работы, выполняемая за один день) для первого рабочего составляет $\frac{1}{x+3}$, а для второго — $\frac{1}{x}$.

По условию задачи, ремонт был закончен за 7 дней. Первый рабочий работал все 7 дней, а второй приступил к работе на 1,5 дня позже, следовательно, он работал $7 - 1,5 = 5,5$ дней.

За это время первый рабочий выполнил часть работы, равную $7 \cdot \frac{1}{x+3} = \frac{7}{x+3}$. Второй рабочий выполнил часть работы, равную $5,5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5,5}{x}$.

Так как вместе они выполнили всю работу, которую мы принимаем за 1, можно составить уравнение:
$\frac{7}{x+3} + \frac{5,5}{x} = 1$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+3)$. Учитывая, что по смыслу задачи $x>0$, умножим обе части уравнения на $x(x+3)$:
$7x + 5,5(x+3) = x(x+3)$
$7x + 5,5x + 16,5 = x^2 + 3x$
$12,5x + 16,5 = x^2 + 3x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 3x - 12,5x - 16,5 = 0$
$x^2 - 9,5x - 16,5 = 0$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим все уравнение на 2:
$2x^2 - 19x - 33 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-33) = 361 + 264 = 625$
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 25}{2 \cdot 2} = \frac{44}{4} = 11$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 25}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1,5$

Корень $x_2 = -1,5$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательной величиной. Следовательно, время, за которое второй рабочий выполнит работу, составляет 11 дней.

Время, необходимое первому рабочему, составляет $x+3 = 11+3 = 14$ дней.

Ответ: первый рабочий может выполнить ремонт квартиры за 14 дней, а второй – за 11 дней.