Номер 12.26, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.26. Аквариум наполняется водой, поступающей в него через две трубки, за 3 часа. За сколько часов может наполниться аквариум через первую трубку, если ей требуется для этого на 2,5 часа меньше, чем второй?

Пусть $x$ часов — время, за которое первая труба может наполнить аквариум. Согласно условию, первой трубе требуется на 2,5 часа меньше, чем второй, следовательно, вторая труба наполнит аквариум за $(x + 2,5)$ часа. Производительность (часть аквариума, наполняемая за час) первой трубы составляет $\frac{1}{x}$, а второй — $\frac{1}{x + 2,5}$. Когда обе трубы работают вместе, их общая производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2,5}$. По условию, вместе они наполняют аквариум за 3 часа, значит, их общая производительность равна $\frac{1}{3}$ аквариума в час. Составим и решим уравнение: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2,5} = \frac{1}{3}$. Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{x + 2,5 + x}{x(x + 2,5)} = \frac{1}{3}$, что упрощается до $\frac{2x + 2,5}{x^2 + 2,5x} = \frac{1}{3}$. Используя правило пропорции, получаем: $3(2x + 2,5) = x^2 + 2,5x$, или $6x + 7,5 = x^2 + 2,5x$. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $x^2 - 3,5x - 7,5 = 0$. Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: $2x^2 - 7x - 15 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 13}{4} = \frac{20}{4} = 5$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 13}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$. Так как время не может быть отрицательным, корень $x_2 = -1,5$ не является решением задачи. Таким образом, первой трубе для наполнения аквариума требуется 5 часов. Ответ: 5 часов.