Номер 12.31, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.31. Из города в деревню вышел пешеход. Через 45 минут после его выхода в том же направлении выехал велосипедист, который через полчаса был позади пешехода на 2,5 км, еще через полчаса велосипедист был на полкилометра от деревни дальше, чем пешеход. Какова скорость пешехода и велосипедиста, если длина пути от города до деревни равна 30 км?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений на основе данных из условия.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.

Пешеход вышел из города и шёл 45 минут, прежде чем выехал велосипедист. Переведем минуты в часы: 45 минут = $45/60$ часа = $0.75$ часа. Полчаса = $30/60$ часа = $0.5$ часа.

Рассмотрим первую ситуацию: через полчаса после выезда велосипедиста он был позади пешехода на 2,5 км. К этому моменту времени пешеход был в пути $0.75$ ч + $0.5$ ч = $1.25$ часа. Велосипедист был в пути $0.5$ часа. Расстояние, которое прошел пешеход от города: $S_п = v_п \cdot 1.25$. Расстояние, которое проехал велосипедист от города: $S_в = v_в \cdot 0.5$. Поскольку велосипедист был позади пешехода на 2,5 км, расстояние, пройденное пешеходом, было на 2,5 км больше. Получаем первое уравнение: $1.25 v_п - 0.5 v_в = 2.5$

Рассмотрим вторую ситуацию: еще через полчаса велосипедист был на полкилометра (0,5 км) от деревни дальше, чем пешеход. Этот момент времени наступил через $0.5$ часа после первого. Общее время пешехода в пути: $1.25$ ч + $0.5$ ч = $1.75$ часа. Общее время велосипедиста в пути: $0.5$ ч + $0.5$ ч = $1$ час. Расстояние пешехода от города: $S_{п2} = v_п \cdot 1.75$. Расстояние велосипедиста от города: $S_{в2} = v_в \cdot 1$. Расстояние от города до деревни равно 30 км. Расстояние пешехода до деревни: $30 - S_{п2} = 30 - 1.75 v_п$. Расстояние велосипедиста до деревни: $30 - S_{в2} = 30 - v_в$. По условию, расстояние велосипедиста до деревни на 0,5 км больше, чем расстояние пешехода до деревни. Получаем второе уравнение: $(30 - v_в) = (30 - 1.75 v_п) + 0.5$ $30 - v_в = 30.5 - 1.75 v_п$ $1.75 v_п - v_в = 0.5$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} 1.25 v_п - 0.5 v_в = 2.5 \\ 1.75 v_п - v_в = 0.5 \end{cases} $

Выразим $v_в$ из второго уравнения: $v_в = 1.75 v_п - 0.5$

Подставим это выражение в первое уравнение: $1.25 v_п - 0.5(1.75 v_п - 0.5) = 2.5$ $1.25 v_п - 0.875 v_п + 0.25 = 2.5$ $0.375 v_п = 2.5 - 0.25$ $0.375 v_п = 2.25$ $v_п = \frac{2.25}{0.375} = \frac{2250}{375} = 6$ Таким образом, скорость пешехода $v_п = 6$ км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста, подставив значение $v_п$ в выражение для $v_в$: $v_в = 1.75 \cdot 6 - 0.5$ $v_в = 10.5 - 0.5 = 10$ Таким образом, скорость велосипедиста $v_в = 10$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода равна 6 км/ч, а скорость велосипедиста — 10 км/ч.